Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0＜α＜90）得到△A1B1C，連結(jié)BB1.設(shè)CB1交AB于D，A1B1分別交AB、AC于E、F，

（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A1B1C全等除外）；

（2）當(dāng)△BB1D是等腰三角形時(shí)，求α.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）30°

【解析】

（1）依據(jù)全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等．由旋轉(zhuǎn)的意義可證∠A1CF=∠BCD，A1C=BC，∠A1=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA1F．

（2）當(dāng)△BBD是等腰三角形時(shí)，要分別討論B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．

(1)全等的三角形有：△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等；

以證△CBD≌△CA1F為例：

證明：∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90°

∴∠A1CF=∠BCD

∵A1C=BC

∴∠A1=∠CBD=45°

∴△CBD≌△CA1F；

(2)在△CBB1中

∵CB=CB1

∴∠CBB1=∠CB1B= (180°α)

又△ABC是等腰直角三角形

∴∠ABC=45°

若B1B=B1D,則∠B1DB=∠B1BD

∵∠B1DB=45°+α

∠B1BD=∠CBB145°= (180°α)45°=45°

∴45°+α=45°，

∴α=0°(舍去)；

∵∠BB1C=∠B1BC>∠B1BD,∴BD>B1D,即BD≠B1D；

若BB1=BD,則∠BDB1=∠BB1D,即45°+α= (180°α),α=30°

由①②③可知,當(dāng)△BB1D為等腰三角形時(shí),α=30°；