Question

【題目】在△ABC中，AB＝，BC＝6，∠B＝45°，D為BC邊上一點將△ABC沿著過D點的直線折疊，使得點C落在AB邊上，記CD＝m，則AC＝_____，m的取值范圍是_____

Answer 1

【答案】

【解析】

過A點作AN⊥BC于點N，由等腰直角三角形的性質得出AN＝BN＝4，求出CN＝BC﹣BN＝2，在Rt△ANC中，由勾股定理即可得出AC的長；

①當DE⊥AB時，DE最小，即CD最小，根據已知條件得到△DEB是等腰直角三角形，設CD＝DE＝x，則DE＝EB＝x，∠DEB＝90°，DB＝x，解直角三角形得到結論，②如圖2中，當E與A重合時，DE最大，即CD最大，作AH⊥CB于H，設CD＝DE＝x，在Rt△AHB中，易知AH＝HB＝4，∠AHB＝90°，HD＝x﹣2，DE＝x，根據勾股定理即可得到結論．

解：過A點作AN⊥BC于點N，如圖1所示：

∵∠B＝45°，∠ANB＝90°，

∴AN＝BN＝AB＝×＝4，

∴CN＝BC﹣BN＝2，

在Rt△ANC中，由勾股定理得：AC＝；

①如圖2所示，∵CD＝DE，

∴當DE⊥AB時，DE最小，即CD最小，

∵∠B＝45°，

∴△DEB是等腰直角三角形，

設CD＝DE＝x，則DE＝EB＝x，∠DEB＝90°，DB＝x，

∵BC＝6，

∴x+x＝6，

∴x＝6﹣6，

②如圖3所示，當E與A重合時，

作AH⊥CB于H，設CD＝DE＝x，

在Rt△AHB中，AH＝HB＝4，∠AHB＝90°，HD＝x﹣2，DE＝x，

∴x2＝42+（x﹣2）2，

∴x＝5，

綜上可知，CD的最大值為5，最小值為6﹣6，

∴CD的取值范圍是6﹣6≤CD≤5，

故答案為：2，6﹣6≤m≤5．