【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,線段AB的兩個端點A(0,2),B(1,0),點C為線段AB的中點.將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD,AD.點P是直線BD上的一個動點.
(1)求點D的坐標(biāo)和直線BD的解析式;
(2)當(dāng)∠PCD=∠ADC時,求點P的坐標(biāo);
(3)若點Q是經(jīng)過點B,點D的拋物線y=ax2+bx+2上的一個動點,請你探索:是否存在這樣的點Q,使得以點P、點Q、點D為頂點的三角形與△ACD相似.若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)點P的坐標(biāo)為(2,)或(8,);(3)見解析.
【解析】
(1)作DE⊥x軸,構(gòu)造全等三角形求點D的坐標(biāo),待定系數(shù)法求BD的解析式;
(2)要特別注意∠PCD=∠ADC有兩種情況:∠PCD在直線CD的下方或上方,防止漏解;
(3)根據(jù)∠PDQ分別與∠ACD,∠ADC,∠CAD相等進(jìn)行討論,每種情形都還要再分兩種情況進(jìn)行分析,還要注意點在點D的左側(cè)和右側(cè)兩種不同情況,以防漏解.
解:(1)如圖1,過D作DE⊥x軸于E,由旋轉(zhuǎn)得:BA=BD,∠ABD=90°,
∵DE⊥x軸,
∴∠BED=∠AOB=90°
∴∠BAO+∠ABO=90°,∠DBE+∠ABO=90°,
∴∠BAO=∠DBE
∴△BAO≌△DBE(AAS)
∴BE=OA=2,DE=OB=1,
∴OE=OB+BE=1+2=3
∴D(3,1);
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,將B(1,0),D(3,1)分別代入得,解得,
∴直線BD的解析式為.
(2)如圖2,∵∠PCD=∠ADC
∴CP∥AD
∴,
∵BC=CA
∴BP=PD
∴P(2,),
作點P關(guān)于直線CD的對稱點P′(2,),連接CP′,則∠P′CD=∠PCD=∠ADC
設(shè)直線CP′的解析式為y=m1x+n1,將C(,1),P′(2,)代入得,解得,
∴直線CP′的解析式為,
聯(lián)立方程組,解得,∴P(8,),
綜上所述:點P的坐標(biāo)為(2,)或(8,).
(3)將B(1,0),D(3,1)分別代入y=ax2+bx+2得,
解得,
∴拋物線解析式為,
△PDQ與△ACD相似分三種情況:
①如圖3,∠PDQ=∠DAC=45°,延長AB至M,使BM=BD,連接DM交拋物線于Q,
作BN∥y軸,MN∥x軸交BN于N,
∴BM=BD=,∠MBN=∠BAO,∠BNM=90°
∴=tan∠MBN=tan∠BAO=,
∴MN=1,BN=2,
∴M(2,﹣2);
設(shè)直線DM解析式為y=m2x+n2,將D(3,1)、M(﹣2,﹣2)代入,
得,
解得
∴直線DM解析式為
聯(lián)立方程組,
解得(舍去),
Q;
若∠DPQ=∠ACD,則可證得PQ∥y軸,
∴P1,
若∠DPQ=∠ADC,可求得
P2,
②∠PDQ=∠ADC時,
如圖4,點Q位于直線BD下方時,
∠PDQ+∠CDB=∠ADC+∠CDB,即∠CDQ=∠ADB=45°,
∵CD∥x軸,∴直線DQ與x軸夾角為45°,設(shè)DQ解析式為y=x+k,將D(3,1)代入得3+k=1,k=﹣2
∴y=x﹣2
聯(lián)立方程組,
解得(舍去),,
∴,
易求直線AD解析式為,
∴直線PQ解析式為
聯(lián)立方程組,解得,
∴P3,
若∠DPQ=∠ACD,則PQ∥y軸,;
如圖5,點Q位于直線BD上方時,
在y軸上取點E(0,),延長DC交y軸于點M,連接DE交拋物線于Q,過點E作EH⊥AD于H,
作∠DQP1=45°或∠DQP=∠ACD,點P,P1在直線BD上,
在Rt△AEH中,tan∠ADM中,tan∠DAM==3,AM=1,DM=3,AM=;
在Rt△AEH中,tan∠EAD==3,AE=AO﹣OE=2﹣,
設(shè)AH=x,則EH=3x,
由勾股定理得,解得x=,
∴EH=,DH=
∴tan∠EDA==tan∠BAC
∴∠EDA=∠BAC
∴∠BDQ=∠ADC
易求得直線DE解析式為y=,可聯(lián)立方程組解得Q,
若∠DQP=∠DAC=45°,易求得DQ=,
由△ADC∽△QDP得,
∴DP×DA=DC×DQ,即,
∴DP=
∴P5.
若∠DPQ=∠DAC=45°,
由△DPQ∽△DAC得
∴DP×DC=DA×DQ,即DP×
∴DP=
∴P6
③如圖6,∠PDQ=∠ACD,
當(dāng)點P在射線DB上時,
∵∠ACD=∠CDB+∠CBD=∠CDB+90°
∴DQ⊥CD時,∠BDQ=∠ACD,顯然,此時點Q不存在.
當(dāng)點P在DB反向延長線上時,
易求得直線DQ解析式為y=,
聯(lián)立方程組可求得Q,
∴DQ=
若∠PQD=∠ADC,則△DPQ∽△CAD
∴,即DP×CD=CA×DQ,DP×
∴DP=
∴P7,
若∠PQD=∠DAC,則△DPQ∽△CDA
∴,即DP×CA=CD×DQ,DP×
∴DP=
∴P8
綜上所述:符合要求的點P的坐標(biāo)為P1,P2,P3,; P5,P6,P7,P8.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點P是半圓上不與點A,B重合的動點,PC∥AB,點M是OP中點.
(1)求證:四邊形OBCP是平行四邊形;
(2)填空:
①當(dāng)∠BOP= 時,四邊形AOCP是菱形;
②連接BP,當(dāng)∠ABP= 時,PC是⊙O的切線.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】紅星公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為20元,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),這種商品在未來40天內(nèi)的 日銷售量(件)與時間(天)的關(guān)系如下表:
時間(天) | 1 | 3 | 6 | 10 | 36 | … |
日銷售量(件) | 94 | 90 | 84 | 76 | 24 | … |
未來40天內(nèi),前20天每天的價格y1(元/件)與t時間(天)的函數(shù)關(guān)系式為:y1=t+25(1≤t≤20且t為整數(shù));后20天每天的價格y2(原/件)與t時間(天)的函數(shù)關(guān)系式為:y2=—t+40(21≤t≤40且t為整數(shù)).下面我們來研究 這種商品的有關(guān)問題.
(1)認(rèn)真分析上表中的數(shù)量關(guān)系,利用學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù) 、反比例函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請預(yù)測未來40天中那一天的銷售利潤最大,最大日銷售利潤是多少?
(3)在實際銷售的前20天中該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤(a<4)給希望工程,公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn),前20天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大,求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C,燈塔C距碼頭的東端N有20km.一輪船以36km/h的速度航行,上午10:00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向,上午10:40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向,且與燈塔C相距12km.
(1)若輪船照此速度與航向航向,何時到達(dá)海岸線?
(2)若輪船不改變航向,該輪船能否?吭诖a頭?請說明理由(參考數(shù)據(jù): ≈1.4, ≈1.7).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=,BC=6,∠B=45°,D為BC邊上一點將△ABC沿著過D點的直線折疊,使得點C落在AB邊上,記CD=m,則AC=_____,m的取值范圍是_____
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了掌握八年級數(shù)學(xué)考試卷的命題質(zhì)量與難度系數(shù),命題組教師赴外地選取一個水平相當(dāng)?shù)陌四昙壈嗉夁M(jìn)行預(yù)測,將考試成績分布情況進(jìn)行處理分析,制成頻數(shù)分布表如下(成績得分均為整數(shù)):
組別 | 成績分組 | 頻數(shù)頻率 | 頻數(shù) |
1 | 2 | 0.05 | |
2 | 4 | 0.10 | |
3 | 0.2 | ||
4 | 10 | 0.25 | |
5 | |||
6 | 6 | 0.15 | |
合計 | 40 | 1.00 |
根據(jù)表中提供的信息解答下列問題:
(1)頻數(shù)分布表中的 , , ;
(2)已知全區(qū)八年級共有200個班(平均每班40人),用這份試卷檢測,108分及以上為優(yōu)秀,預(yù)計優(yōu)秀的人數(shù)約為 ,72分及以上為及格,預(yù)計及格的人數(shù)約為 ,及格的百分比約為 ;
(3)補充完整頻數(shù)分布直方圖.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文化源遠(yuǎn)流長,文學(xué)方面,《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表,被稱為“四大古典名著”某中學(xué)為了解學(xué)生對四大名著的閱讀情況,就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息,解決下列問題
(1)本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____部,中位數(shù)是_____部;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為_____度;
(3)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(4)沒有讀過四大古典名著的兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各自隨機選擇一部來閱讀,求他們恰好選中同一名著的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點A(6,﹣3),對稱軸是直線x=4,頂點為B,OA與其對稱軸交于點M,M、N關(guān)于點B對稱.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式和點B的坐標(biāo);
(2)聯(lián)結(jié)ON、AN,求△OAN的面積;
(3)點Q在x軸上,且在直線x=4右側(cè),當(dāng)∠ANQ=45°時,求點Q的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)校園”活動中,學(xué)校計劃每周二下午第三節(jié)課時間開展此項活動,擬開展活動項目為:剪紙,武術(shù),書法,器樂,要求七年級學(xué)生人人參加,并且每人只能參加其中一項活動.教務(wù)處在該校七年級學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并對此進(jìn)行統(tǒng)計,繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整).
請解答下列問題:
(1)請補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)在參加“剪紙”活動項目的學(xué)生中,男生所占的百分比是多少?
(3)若該校七年級學(xué)生共有500人,請估計其中參加“書法”項目活動的有多少人?
(4)學(xué)校教務(wù)處要從這些被調(diào)查的女生中,隨機抽取一人了解具體情況,那么正好抽到參加“器樂”活動項目的女生的概率是多少?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com