Question

在△ABC中，sin∠A=sin∠B=

4

5

，AB=12，M為AC的中點，BM的垂直平分線交AB于點N，那么BN的長為

 

．

Answer 1

考點：解直角三角形,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：PN垂直平分BM，作CD⊥AB于D，MH⊥AB于H，如圖，由sin∠A=sin∠B得到∠A=∠B，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD

1

2

AB=6，在Rt△ACD中，根據(jù)正弦的定義得sin∠A=

CD

AC

=

4

5

，可設CD=4t，AC=5t，根據(jù)勾股定理得AD=3t，則3t=6，解得t=2，所以AC=10，AM=5，再在Rt△AMH中，利用sin∠A=

MH

AM

=

4

5

得到MH=4，于是有AH=3，HB=AB-AH=9，由于PN垂直平分BM，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得NM=NB，設NB=x，則NM=x，HN=9-x，在Rt△MHN中，根據(jù)勾股定理有x²=4²+（9-x）²，解得x=

97

18

．

解答：解：如圖，PN垂直平分BM，
作AD⊥AB于D，MH⊥AB于H，
∵sin∠A=sin∠B，
∴∠A=∠B，
∴AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×12=6，
在Rt△ACD中，sin∠A=

CD

AC

=

4

5

，
設CD=4t，AC=5t，
∴AD=

AC2-CD2

=3t，
∴3t=6，解得t=2，
∴AC=10，
∵M點為AC的中點，
∴AM=5，
在Rt△AMH中，sin∠A=

MH

AM

=

4

5

，
∴MH=4，
∴AH=3，HB=AB-AH=9，
∵PN垂直平分BM，
∴NM=NB，
設NB=x，則NM=x，HN=9-x，
在Rt△MHN中，
∵NM²=MH²+HN²，
∴x²=4²+（9-x）²，解得x=

97

18

，
即NB的長為

97

18

．
故答案為

97

18

．

點評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．