Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線的頂點(diǎn)A到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、C兩點(diǎn)，OC=4；過A作AB⊥x軸交x軸于點(diǎn)B．
（1）請寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求這條拋物線的解析式；
（3）設(shè)P為拋物線上一點(diǎn)，過P作PH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，試問當(dāng)P位于何處時(shí)，使得以A、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)、P、H為頂點(diǎn)的三角形相似．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)OC長度可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)A橫坐標(biāo)，即可解題；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A、C、O三點(diǎn)代入即可求得a、b的值，即可解題；
（3）連接AC，根據(jù)以A、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)、P、H為頂點(diǎn)的三角形相似，可得PH=2OH或者OH'=2P'H'即可解題．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸相交于O、C兩點(diǎn)，OC=4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)A橫坐標(biāo)為2，
∵A到x軸的距離是4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，4），
（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
代入O點(diǎn)得：c=0，
將A，C兩點(diǎn)代入得：

4a+2b=4 16a+4b=0

，
解得：a=-1，b=4，
∴這條拋物線的解析式為y=-x²+4x；
（3）連接AC，

∴tan∠BAC=

BC

AB

=

1

2

，
∴滿足tan∠OPH=

1

2

或tan∠P'OH'=

1

2

即可，
∴存在點(diǎn)P，坐標(biāo)為（a，2a）或（2b，b）
∴-a²+4a=2a，-（2b）²+8b=b，
解得：a=2，b=

7

4

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4）和（

7

2

，

7

4

）時(shí)，可以使得以A、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)、P、H為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了交點(diǎn)的求解，本題中求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．