Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A點(diǎn)在x軸上，

OC

OA

=

3

4

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）過A、C兩點(diǎn)，圖象與x軸的另一交點(diǎn)為B，原點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線AC上．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

OC

OA

=

3

4

，即可得出AO=4，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用勾股定理首先得出AC的長(zhǎng)，再利用原點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線AC上設(shè)為D點(diǎn)，得出CD=3，進(jìn)而求出AD，BD的長(zhǎng)，即可求出拋物線解析式即可，注意A點(diǎn)坐標(biāo)有兩種情況．

解答：解：（1）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A點(diǎn)在x軸上，

OC

OA

=

3

4

，
∴AO=4，
故A點(diǎn)坐標(biāo)有兩種情況，即A（4，0）或（-4，0）；

（2）如圖1，由題意得出，∠OCA的角平分線與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，
若點(diǎn)O在AC上的落點(diǎn)為D，
則BD⊥AC，且CD=CO=3，
∵CO=3，AO=4，
∴AC=

32+42

=5，
故AD=5-3=2，
∵∠BDA=90°，AB=4-BO=4-BD，
∴BD²+AD²=AB²，
∴BD²+2²=（4-BD）²，
解得：BD=

3

2

，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為：（

3

2

，0），
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

9 4 a+ 3 2 b+c=0 c=3 16a+4b+c=0

，
解得：

a= 1 2 b=- 11 4 c=3

，
故經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=

1

2

x²-

11

4

x+3，
同理如圖2，可得出，當(dāng)A′點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），B′點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，0），拋物線解析式為：y=

1

2

x²+

11

4

x+3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及勾股定理等知識(shí)，注意根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．