【題目】在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,點D是邊BC上一點,連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉90°,得到線段AE,連接DE.
(1)如圖①,當點E落在邊BA的延長線上時,∠EDC= 度(直接填空);
(2)如圖②,當點E落在邊AC上時,求證:BD=EC;
(3)當AB=2,且點E到AC的距離等于﹣1時,直接寫出tan∠CAE的值.
【答案】(1)90;(2)詳見解析;(3)
【解析】
(1)利用三角形的外角的性質即可解決問題;
(2)如圖2中,作PA⊥AB交BC于P,連接PE.只要證明△BAD≌△PAE(SAS),提出BD=PE,再證明EC=2PE即可;
(3)如圖3,作EF⊥AC于F,延長FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,連接PE.設PH=x,在Rt△EPH中,可得EP=x,EH=2PH=2x,
由此FH=2x+﹣1,CF=2x+3﹣,由△BAD≌△PAE,得BD=EP=x,AE=AD,在Rt△ABG中, AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,故AE2=AD2=AF2+EF2,由勾股定理得AF=1+,由此tan∠EAF=2﹣,根據對稱性可得tan∠EAC=.
(1)如圖1中,
∵∠EDC=∠B+∠BED,∠B=∠BED=45°,
∴∠EDC=90°,
故答案為90;
(2)如圖2中,作PA⊥AB交BC于P,連接PE.
∵∠DAE=∠BAP=90°,
∴∠BAD=∠PAE,
∵∠B=45°,
∴∠B=∠APB=45°,
∴AB=AP,
∵AD=AE,
∴△BAD≌△PAE(SAS),
∴BD=PE,∠APE=∠B=45°,
∴∠EPD=∠EPC=90°,
∵∠C=30°,
∴EC=2PE=2BD;
(3)如圖3,作EF⊥AC于F,延長FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,連接PE.
設PH=x,在Rt△EPH中,∵∠EPH=90°,∠EHP=60°,
∴EP=x,EH=2PH=2x,
∴FH=2x+﹣1,CF=FH=2x+3﹣,
∵△BAD≌△PAE,
∴BD=EP=x,AE=AD,
在Rt△ABG中,∵AB=2,
∴AG=GB=2,
在Rt△AGC中,AC=2AG=4,
∵AE2=AD2=AF2+EF2,
∴22+(2﹣x)2=(﹣1)2+(4﹣2x﹣3+)2,
整理得:9x2﹣12x=0,
解得x=(舍棄)或0
∴PH=0,此時E,P,H共點,
∴AF=1+,
∴tan∠EAF===2﹣.
根據對稱性可知當點E在AC的上方時,同法可得tan∠EAC=.
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【題目】紅燈籠,象征著闔家團圓,紅紅火火,掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化.小明在春節(jié)前購進甲、乙兩種紅燈籠,用3120元購進甲燈籠與用4200元購進乙燈籠的數量相同,已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元.
(1)求甲、乙兩種燈籠每對的進價;
(2)經市場調查發(fā)現,乙燈籠每對售價50元時,每天可售出98對,售價每提高1元,則每天少售出2對:物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每對65元,設乙燈籠每對漲價x元,小明一天通過乙燈籠獲得利潤y元.
①求出y與x之間的函數解析式;
②乙種燈籠的銷售單價為多少元時,一天獲得利潤最大?最大利潤是多少元?
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【題目】已知,如圖,在邊長為10的菱形ABCD中,cos∠B=,點E為BC邊上的中點,點F為邊AB邊上一點,連接EF,過點B作EF的對稱點B′,
(1)在圖(1)中,用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B′(不寫作法,保留痕跡);
(2)當△EFB′為等腰三角形時,求折痕EF的長度.
(3)當B′落在AD邊的中垂線上時,求BF的長度.
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【題目】如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過點A,B,C.現有下面四個推斷:①拋物線開口向下;②當x=-2時,y取最大值;③當m<4時,關于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有兩個不相等的實數根;④直線y=kx+c(k≠0)經過點A,C,當kx+c> ax2+bx+c時,x的取值范圍是-4<x<0;其中推斷正確的是 ( )
A. ①②B. ①③C. ①③④D. ②③④
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【題目】某超市對今年“元旦”期間銷售A、B、C三種品牌的綠色雞蛋情況進行了統(tǒng)計,并繪制如圖所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖.根據圖中信息解答下列問題:
(1)該超市“元旦”期間共銷售 個綠色雞蛋,A品牌綠色雞蛋在扇形統(tǒng)計圖中所對應的扇形圓心角是 度;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)如果該超市的另一分店在“元旦”期間共銷售這三種品牌的綠色雞蛋1500個,請你估計這個分店銷售的B種品牌的綠色雞蛋的個數?
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【題目】如圖,從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ,測得桿頂端點P的仰角是45°,向前走6m到達B點,測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度數;
(2)求該電線桿PQ的高度(結果精確到1m).備用數據:,
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形的頂點在軸的正半軸上,.對角線相交于點,反比例函數的圖像經過點,分別與交于點.
(1)若,求的值;
(2)連接,若,求的面積.
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,D是AB中點,一個以點D為頂點的60°角繞點D旋轉,使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交,交點分別為點E,F,DF與AC交于點M,DE與BC交于點N.
(1)如圖1,若CE=CF,求證:DE=DF;
(2)如圖2,在∠EDF繞點D旋轉的過程中:
①探究三條線段AC,CE,CF之間的數量關系,并說明理由;
②若CE=9,CF=4,求CN的長.
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【題目】在一次數學綜合實踐活動中,小明計劃測量城門大樓的高度,在點B處測得樓頂A的仰角為22°,他正對著城樓前進21米到達C處,再登上3米高的樓臺D處,并測得此時樓頂A的仰角為45°.
(1)求城門大樓的高度;
(2)每逢重大節(jié)日,城門大樓管理處都要在A,B之間拉上繩子,并在繩子上掛一些彩旗,請你求出A,B之間所掛彩旗的長度(結果保留整數).(參考數據:sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
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