Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對(duì)折，使A、C重合，直線MN交AC于O．
（1）求證：△COM∽△CBA；
（2）求線段MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱得到AC⊥MN，進(jìn)一步得到∠COM=90°，從而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后證得△COM∽△CBA；
（2）利用上題證得的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式后即可求得OM的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵沿直線MN對(duì)折，使A、C重合．
∴A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴AC⊥MN，
∴∠COM=90°．
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA；

（2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴OC=5，
∵△COM∽△CBA，
∴

OC

BC

=

OM

BA

，
∴OM=

15

4

，
∴MN=2OM=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析并找到相等的角來證得相似三角形．