Question

如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F，若正方形的邊長為4，AE=x，BF=y．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出當x為何值時，y取最大值，最大值是多少？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可以得出∠A=∠B，∠AED=∠EBF，從而得出△ADE∽△BEF；可以得出

AE

BF

=

AD

BE

，然后將AE=x，BF=y的值代入等式就可以表示出y的代數(shù)式；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=AB，
∴∠ADE+∠DEA=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF；
∴

AE

BF

=

AD

BE

．
∵AD=AB=4，
∴BE=4-x，
∴

x

y

=

4

4-x

，
∴y=-

1

4

x²+x（0＜x＜4）．

（2）∵由（1）知，y=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1，
∴當x=2時，y有最大值，y的最大值為1．

點評：本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點是解答此題的關(guān)鍵．