Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（4，0），B（-2，0）兩點，交y軸于點C（0，4）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度沿線段BA方向運動，同時動直線l從x軸出發(fā)，以每秒1個單位長度沿y軸方向平行移動，直線l交AC與D，交BC于E，當點Q運動到A點時，兩者都停止運動．設運動時間為t秒．△QOD的面積為S．
①寫出S與t的函數(shù)關系式，并求S=

1

2

S_△BOC時t的值；
②在點Q及直線l的運動過程中，是否存在t的值使∠EQD=90°？若存在，請求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知三點的坐標代入到二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）①根據(jù)題意，得：BQ=2t，y_E=y_D=t，S_△BDC=

1

2

BO•OC=

1

2

×2×4=4，然后求得s與t的函數(shù)關系式，從而得到有關t的方程，然后求解即可；
②若∠DQE=90°時，過點D作DF⊥AB于F，過點E作EG⊥AB于G，利用△BGE∽△BOC表示出QG=2t-

t

2

=

3t

2

、AF=t，DF=t，QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，然后利用△EGQ∽△QDF列出比例式求得t值即可．

解答：解：（1）把點A（4，0），B（-2，0），C（0，4）代入拋物線y=ax²+bx+c得：

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 2 b=1 c=4

∴二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）由題意，得：BQ=2t，y_E=y_D=t，S_△BDC=

1

2

BO•OC=

1

2

×2×4=4，
①s與t的函數(shù)關系式為

s=-t2+t(0≤t＜1) s=t2-t(1≤t≤3)

Ⅰ當0≤t＜1時，-t²+t=2
整理得：t²-t+2=0，次方程無實數(shù)根；
Ⅱ當1≤t≤3時，t²-t=2
解得：t=2或t=-1，
綜上，t=2；
②存在．若∠DQE=90°時，過點D作DF⊥AB于F，過點E作EG⊥AB于G，則△BGE∽△BOC，
∴

GB

OB

=

GE

OC

，
∴BG=

OB•EG

OC

=

2t

4

=

t

2

，
∴QG=2t-

t

2

=

3t

2

．
同理可求AF=t，DF=t，QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，
易得△EGQ∽△QDF，
∴

EG

QF

=

QG

DF

∴

t

6-3t

=

3t 2

t

，
∴t=

18

11

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．