Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，過對角線AC的中點O作EF⊥AC，分別交邊AB，CD于點E，F(xiàn)，連接CE，AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若EF=4，AC⊥BC，四邊形AECF的面積為10，求sinB的值．

Answer 1

考點：梯形,菱形的判定,解直角三角形

專題：

分析：（1）運用“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要證明OE=OF即可，用全等三角形得出；
（2）先求出AC，根據(jù)AC⊥BC，可得出EFCB是平行四邊形，從而可得出BC=EF=4，在Rt△ABC中，可求出sinB的值．

解答：解：（1）
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2，
∵在△CFO和△AEO中，

∠1=∠2 ∠FOC=∠EOA OC=OA

，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．

（2）∵EF⊥AC，AC⊥BC，
∴四邊形EFCB是平行四邊形，
∴BC=EF=4，
又∵四邊形AECF的面積為10，
∴AC=5，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

41

，
則sinB=

AC

AB

=

5

41

=

5 41

41

．

點評：本題考查了梯形的知識，難點在第二問，注意掌握菱形的面積可以用對角線積的一半來表示，難度一般．