【題目】已知拋物線:的項(xiàng)點(diǎn)為,交軸于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),且.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn),交軸于點(diǎn),若的面積被軸分為1: 4兩個(gè)部分,求直線的解析式;
(3)在(2)的情況下,將拋物線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時(shí),為直角三角形?
【答案】(1);(2)直線的解析式為;(3)點(diǎn)橫坐標(biāo)為或或或時(shí),為.
【解析】
(1)求拋物線l1的頂點(diǎn)P(0,-2)得OP=2,由求得BP的長(zhǎng),進(jìn)而求得OB即點(diǎn)B坐標(biāo),代入拋物線l1的解析式即求得a的值.
(2)求點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,把點(diǎn)A代入得b=4k,所以能用k表示點(diǎn)D坐標(biāo),進(jìn)而用k表示△AOD和△BOD的面積.把直線AC解析式與拋物線l1解析式聯(lián)立方程,即y相等時(shí)得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,解即為點(diǎn)A、C橫坐標(biāo),利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)C橫坐標(biāo)(用k表示),進(jìn)而可用k表示C的縱坐標(biāo),再得到用k表示的△ABC面積.當(dāng)k>0時(shí),顯然S△AOD:S四邊形OBCD=1:4,即S△AOD=S△ABC,故得到關(guān)于k的方程,求解即得k的值.當(dāng)k<0,則得到的方程與k>0時(shí)相同,求得的k不滿足題意.綜合即求得直線AC的解析式.
(3)由于不確定點(diǎn)B、D、M哪個(gè)為直角頂點(diǎn),故需分三種情況討論.設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,①若∠BDM=90°,過(guò)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N,可證△BDO∽△DMN,用m表示MN、DN的長(zhǎng),代入相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即列得方程求m的值.②若∠DBM=90°,過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q,可證△BMQ∽△DBO,用m表示BQ、MQ的長(zhǎng),代入相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即列得方程求m的值.③若∠BMD=90°,則點(diǎn)M在以BD為直徑的圓除點(diǎn)B、D外的圓周上,但顯然以AB為直徑的圓與拋物線l2無(wú)交點(diǎn),故此情況不存在滿足的m.
(1)當(dāng)時(shí),
∴頂點(diǎn),
∵,
∴
∴
∴
∴,代入拋物線得:
,解得,
∴拋物線的函數(shù)解析式為
(2)∵知拋物線交軸于、兩點(diǎn)
∴、關(guān)于軸對(duì)稱,即
∴
設(shè)直線解析式:點(diǎn)代入得:
∴
∴直線:,
∴
∵,整理得:
∴
∵
∴,
∴
∴
①若,則
∴
∴
解得:(舍去),
∴直線的解析式為
②若,則,
∴解得:(舍去),(舍去)
綜上所述,直線的解析式為.
(3)由(2)得:,
∵拋物線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到拋物線
∴拋物線解析式為:
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
①若,如圖1,則 過(guò)作軸于點(diǎn)
∴,,
∴
∴
∴
∴,即
∴
解得:,
②若,如圖2,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)
∴,,
∴
∴
∴
∴,即
∴解得:,
③若,則點(diǎn)在以為直徑的圓除點(diǎn)、外的圓周上
顯然以為真徑的圓與拋物線無(wú)交點(diǎn),故此情況不存在滿足的
綜上所述,點(diǎn)橫坐標(biāo)為或或或時(shí),為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交⊙O于D,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AC∥DE,當(dāng)AB=8,CE=2時(shí),求⊙O直徑的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求四邊形ACPB的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出使∠MBC=∠ABC的點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD的一個(gè)角翻折,使得點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處,折痕為EF,若EB為∠AEG的平分線,EF和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.下列結(jié)論中:①∠BEF=90°;②DE=CH;③BE=EF;④△BEG和△HEG的面積相等;⑤若,則.以上命題,正確的有( 。
A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中,點(diǎn)為的中點(diǎn),以為底邊的等腰按如圖所示位置擺放,且.請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺分別按下列要求作圖(保留作圖痕跡).
如圖①,在上求作一點(diǎn),使四邊形為菱形;
如圖②,過(guò)點(diǎn)作線段使得線段將的面積平分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知一個(gè)拋物線經(jīng)過(guò)A(0,1),B(1,3),C(﹣1,1)三點(diǎn).
(1)求這個(gè)拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)聯(lián)結(jié)AB、BC、CA,求tan∠ABC的值;
(3)如果點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上,且以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=x,點(diǎn)A1坐標(biāo)為(0,1),過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1,以原點(diǎn)O 為圓心,OB1長(zhǎng)為半徑畫弧交y一軸于點(diǎn)A2;再過(guò)點(diǎn)A2作y軸的垂線交直線于點(diǎn)B2,以原點(diǎn)O為圓心,OB2長(zhǎng)為半徑畫弧交y軸于點(diǎn)A3,…,按此做法進(jìn)行下去,點(diǎn)A4的坐標(biāo)為_______;點(diǎn)An的坐標(biāo)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有大小兩種貨車,3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運(yùn)貨18噸,2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)貨17噸.
(1)請(qǐng)問(wèn)1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸?
(2)目前有33噸貨物需要運(yùn)輸,貨運(yùn)公司擬安排大小貨車共計(jì)10輛,全部貨物一次運(yùn)完,其中每輛大貨車一次運(yùn)費(fèi)花費(fèi)130元,每輛小貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)100元,請(qǐng)問(wèn)貨運(yùn)公司應(yīng)如何安排車輛最節(jié)省費(fèi)用?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖在正六邊形中,有兩點(diǎn)同時(shí)、同速?gòu)?/span>中點(diǎn)出發(fā),P沿方向運(yùn)動(dòng),Q點(diǎn)沿方向指向運(yùn)動(dòng),10秒后,兩點(diǎn)與多邊形中心連線及多邊形(延長(zhǎng)線)所圍成圖形的面積如圖(陰影部分的面積)有兩部分為,則之間的數(shù)量關(guān)系是( )
A.B.C.D.
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