Question

如圖，已知⊙0是△ABC的外接圓，半徑長為5，點(diǎn)D、E分別是邊AB和邊AC是中點(diǎn)，AB=AC，BC=6．求∠OED的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,三角形中位線定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：連接AO并延長交BC于點(diǎn)H，連接OC，先根據(jù)AB=AC得出

AB

=

AC

，根據(jù)垂徑定理得出OH及AH的長，由銳角三角函數(shù)的定義得出tan∠HAC=tan∠OAE=

1

3

，再根據(jù)D、E分別是邊AB和邊AC的中點(diǎn)，得出DE∥BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠OAE+∠AED=90°，∠AED+∠OED=90°，故可得出∠OAE=∠OED，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：連接AO并延長交BC于點(diǎn)H，連接OC，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∵O為圓心，
∴AH⊥BC，BH=HC，
∴HC=3，
∵半徑OC=5，
∴OH=4，AH=9，
∴在Rt△AHC中，tan∠HAC=

HC

AH

=

3

9

=

1

3

，即tan∠OAE=

1

3

，
∵D、E分別是邊AB和邊AC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∴AH⊥DE，
∴∠OAE+∠AED=90°，
∵E是邊AC的中點(diǎn)，O為圓心，
∴OE⊥AC，
∴∠AED+∠OED=90°，
∴∠OAE=∠OED，
∴tan∠OED=tan∠OAE=

1

3

．
∴∠OED的正切值為：

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．