【題目】如圖,已知二次函數(shù)y= x2+ x﹣ 的圖象與x軸交于點 A,B,交 y 軸于點 C,拋物線的頂點為 D.
(1)求拋物線頂點 D 的坐標(biāo)以及直線 AC 的函數(shù)表達式;
(2)點 P 是拋物線上一點,且點P在直線 AC 下方,點 E 在拋物線對稱軸上,當(dāng)△BCE 的周長最小時,求△PCE 面積的最大值以及此時點 P 的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,過點 P 且平行于 AC 的直線分別交x軸于點 M,交 y 軸于點N,把拋物線y= x2+ x﹣ 沿對稱軸上下平移,平移后拋物線的頂點為 D',在平移的過程中,是否存在點 D',使得點 D',M,N 三點構(gòu)成的三角形為直角三角形,若存在,直接寫出點 D'的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:y= x2+ x﹣ = (x+1)2﹣ ,頂點D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣ ),
當(dāng)y=0時, x2+ x﹣ =0,解得x1=﹣3,x2=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0).
當(dāng)x=0時,y=﹣ ,
∴C(0,﹣ ),
∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣
(2)解:∵△CPE得周長為BC+CE+BE,其中BC的長是固定的,
∴周長取得最小值就是BE+CE取得最小值,
∵點E是拋物線對稱軸上一點,
∴BE=AE,
∴BE+CE=AE+CE,
∴BE+CE的最小值是AC,點E是AC與對稱軸的交點.
∴點E為(﹣1,﹣ ).
∵點P是拋物線上x軸下方一點,設(shè)點P為(t, t2+ t﹣ ).且 t2+ t﹣ <0.
過點P作QP⊥x軸交直線AC于點Q,點Q坐標(biāo)為(t,﹣ t﹣ ).
當(dāng)點p在對稱軸左側(cè)時,S△PCE=S△PCQ﹣S△PEQ= PQ(0﹣t)﹣ PQ(﹣1﹣t)= PQ,
當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時,S△PCE=S△PCQ+S△PEQ= PQ(0﹣t)+ PQ[t﹣(﹣1)]= PQ,
∵PQ=(﹣ t﹣ )﹣( t2+ t﹣ )=﹣ t2﹣ t,
∴S△PCE= PQ=﹣ t2﹣ t=﹣ (t+ )2+ .
當(dāng)t=﹣ 時,△PEC的面積最大,最大值是 ,此時,點P的坐標(biāo)為(﹣ ,﹣ )
(3)解:經(jīng)過點P且平行于AC的直線MN的解析式為y=﹣ x﹣ ,
當(dāng)x=0時,y=﹣ ,即N(0,﹣ ),當(dāng)y=0時,x=﹣ ,即M(﹣ ,0),
設(shè)點D′的坐標(biāo)為(﹣1,d),則MN2=(﹣ )2+(﹣ )2= ,MD′2=[﹣ ﹣(﹣1)]2+d2= +d2,ND′2=(﹣1)2+(﹣ ﹣d)2=d2+ d+ .
當(dāng)∠MD′N=90°時,MD′2+ND′2=MN2,即 +d2+d2+ d+ = ,
整理,得4d2+7 d﹣17=0,解得d1= ,d2= ,
當(dāng)∠NMD′=90°時,MD′2=ND′2+MN2,即 +d2=d2+ d+ + ,
化簡,得 d=﹣ ,解得d=﹣ ,
當(dāng)∠NMD′﹣90°時,ND′2=MD′2+MN2,即d2+ d+ = +d2+ ,
化簡,得 d= ,解得d= ,
∴存在點 D',使得點 D',M,N 三點構(gòu)成的三角形為直角三角形,D′點的坐標(biāo)為(﹣1, )(﹣1, ),(﹣1, )(﹣1 )
【解析】(1)利用配方法可配成頂點式,求出頂點坐標(biāo);(2)△BCE 的周長最小,即CE+BE最小,由對稱法可求得點E在AC與對稱軸的交點處時,△BCE 的周長最小,△PCE 面積的最大值可運用函數(shù)思想,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t,其縱坐標(biāo)用t的代數(shù)式表示,作出x軸垂線,把△PCE 分割為兩個有豎直邊的三角形,構(gòu)建關(guān)于面積的函數(shù),配成頂點式求出最值;(3)D',M,N 三點構(gòu)成的三角形為直角三角形須分類討論:∠MD′N=90°或∠NMD′=90°或∠NMD′﹣90°,利用勾股定理列出方程.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列兩則材料,回答問題,材料一:定義直線y=ax+b與直線y=bx+a互為“共同體直線”,例如,直線y=x+4與直線y=4x+l互為“共同體直線”.
材料二:對于半面直角坐標(biāo)系中的任意兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P1、P2之兩點間的直角距離d1(P1,p2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|:例如:Q1(﹣3,1)、Q2(2.4)兩點間的直角距離為d(Q1,Q2)=|﹣3﹣2|+|1﹣4|=8; P0(x0,y0)為一個定點,Q(x,y)是直線y=ax+b上的動點,我們把d(P0,Q)的最小值叫做Po到直線y=ax+b的直角距離.
(1)計算S(﹣2,6),T(1,3)兩點間的直角距離d(S,T)= ,直線y=4x+3上的一點H(a,b)又是它的“共同體直線”上的點,求點H的坐標(biāo).
(2)對于直線y=ax+b上的任意一點M(m,n),都有點N(3m,2m﹣3n)在它的“共同體直線”上,試求點L(10,﹣)到直線y=ax+b的直角距離.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,延長CE,BA交于點F,連接AC,DF.
(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)CF平分∠BCD時,寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春暖花開,市民紛紛外出踏青,某種品牌鞋專賣店抓住機遇,利用10周年店慶對其中暢銷的M款運動鞋進行促銷,M款運動鞋每雙的成本價為800元,標(biāo)價為1200元.
(1)M款運動鞋每雙最多降價多少元,才能使利潤率不低于20%;
(2)該店以前每周共售出M款運動鞋100雙,2017年3月的一個周末,恰好是該店的10周年店慶,這個周末M款運動鞋每雙在標(biāo)價的基礎(chǔ)上降價 m%,結(jié)果這個周末賣出的M款運動鞋的數(shù)量比原來一周賣出的M款運動鞋的數(shù)量增加了 m%,這周周末的利潤達到了40000元,求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電器超市銷售每臺進價分別為2000元、1700元的、兩種型號的空調(diào),如表是近兩周的銷售情況:
銷售時段 | 銷售數(shù)量 | 銷售款 | |
種型號 | 種型號 | ||
第一周 | 4臺 | 5臺 | 20500元 |
第二周 | 5臺 | 10臺 | 33500元 |
(1)求、兩種型號的空調(diào)的銷售單價;
(2)求近兩周的銷售利潤.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲乙兩車分別從A、B兩地出發(fā),相向勻速行駛,已知乙車先出發(fā),1小時后甲車再出發(fā).一段時間后,甲乙兩車在休息站C地相遇:到達C地后,乙車不休息繼續(xù)按原速前往A地,甲車休息半小時后再按原速前往B地,甲車到達B地停止運動;乙車到A地后立刻原速返回B地,已知兩車間的距離y(km)隨乙車運動的時間x(h)變化如圖,則當(dāng)甲車到達B地時,乙車距離B地的距離為_____(km).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算能力是數(shù)學(xué)的基本能力,為了進一步了解學(xué)生的計算情況,初2020級數(shù)學(xué)老師們對某次考試中第19題計算題的得分情況進行了調(diào)查,現(xiàn)分別從A、B兩班隨機各抽取10名學(xué)生的成績?nèi)缦拢?/span>
A班10名學(xué)生的成績繪成了條形統(tǒng)計圖,如下圖,
B班10名學(xué)生的成績(單位:分)分別為:9,8,9,10,9,7,9,8,10,8
經(jīng)過老師對所抽取學(xué)生成績的整理與分析,得到了如下表數(shù)據(jù):
A班 | B班 | |
平均數(shù) | 8.3 | a |
中位數(shù) | b | 9 |
眾數(shù) | 8或10 | c |
極差 | 4 | 3 |
方差 | 1.81 | 0.81 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題.
(1)補全條形統(tǒng)計圖;
(2)直接寫出表中a,b,c的值:a= ,b= ,c= ;
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為A、B兩個班哪個班計算題掌握得更好?請說明理由(寫出其中兩條即可): .
(4)若9分及9分以上為優(yōu)秀,若A班共55人,則A班計算題優(yōu)秀的大約有多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:y=kx和拋物線C:y=ax2+bx+1.
(Ⅰ)當(dāng)k=1,b=1時,拋物線C:y=ax2+bx+1的頂點在直線l:y=kx上,求a的值;
(Ⅱ)若把直線l向上平移k2+1個單位長度得到直線r,則無論非零實數(shù)k取何值,直線r與拋物線C都只有一個交點;
(i)求此拋物線的解析式;
(ii)若P是此拋物線上任一點,過點P作PQ∥y軸且與直線y=2交于點Q,O為原點,求證:OP=PQ.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點E為AB的中點,將矩形ABCD沿CE折疊,使得點B落到點F的位置.
(1)求證:AF∥CE.
(2)求AF的長度.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com