Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，延長CE，BA交于點(diǎn)F，連接AC，DF．

（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）當(dāng)CF平分∠BCD時，寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=2CD，理由見解析.

【解析】

（1）利用矩形的性質(zhì)，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根據(jù)CD∥AF，即可得出四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根據(jù)E是AD的中點(diǎn)，可得AD=2CD，依據(jù)AD=BC，即可得到BC=2CD．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠FAE=∠CDE，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

又∵∠FEA=∠CED，

∴△FAE≌△CDE，

∴CD=FA，

又∵CD∥AF，

∴四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）BC=2CD．

證明：∵CF平分∠BCD，

∴∠DCE=45°，

∵∠CDE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CD=DE，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AD=2CD，

∵AD=BC，

∴BC=2CD．