【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于點A(-2,0)和點B,與y軸交于C,對稱軸為直線x= .
(1)求a、b滿足的關(guān)系式;
(2)若點D為拋物線的頂點,連接CD,DB,BC,S△BCD= .
①求拋物線的解析式;
②點M是第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)拋物線上一點,過點M作MN⊥x軸,垂足為點N,線段MN上有一點H,若∠HBA+∠MAB=90°,求證:HN的長為定值.
【答案】(1)a+b=0;(2)① y=a(x+2)(x-3);②見解析
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求出a、b的關(guān)系;
(2)①先求出拋物線與x軸的兩個交點,用交點式設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)S△BCD= 求出a即可;
②先證△BNH ∽△MNA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,設(shè)M(t,-t2+t+6),則N(t,0),代入計算即可.
(1)∵拋物線的對稱軸為直線x=,
∴-=,
即b=-a,
∴a、b滿足的關(guān)系式為a+b=0
(2)①∵拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的對稱軸為直線x=,
且拋物線與x軸的一個交點A的坐標(biāo)為(-2,0),
∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為(3,0).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-3),
即y=ax2-ax-6a,
當(dāng)x=0時,y=-6a,
∴C(0,-6a),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,
將B(3,0),C(0,-6a)代入直線BC的解析式得,
,解得,
∴直線BC的解析式為y=2ax-6a
如圖,設(shè)直線BC交拋物線的對稱軸于點E,
∴E(,-5a),D(,-),
∴DE=-a-(-5a)=-a,
∵S△BCD=S△BDE+S△CED
=DE·(xB-xC)
=×(-)×3
=-,
∵S△BCD=,
∴a=-1,
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+6
②如圖,
∵A(-2,0),B (3,0),MN⊥x軸,
∴∠HNB =∠ANM =90°,
∴∠BHN +∠HBN =90°,
又∵∠HBA+∠MAB=90°,
∴∠BHN =∠MAB,
∴△BNH ∽△MNA,
∴=
設(shè)M(t,-t2+t+6),則N(t,0),
∴=,
∴HN===1,
∴HN的長為定值
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【題目】端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,某食品廠為了解某市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A,B,C,D表示)這四種不同口味粽子喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成下面的兩幅統(tǒng)計圖甲、乙(尚不完整),請根據(jù)圖中信息回答:
(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?
(2)若有外形完全相同的A,B,C,D粽各一個,煮熟后,小王吃了兩個,用列表或畫樹狀圖的方法,求他第二個吃到的恰好是C粽的概率.
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【題目】(1)如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b,填空:當(dāng)點A位于 時,線段AC的長取到最大值,則最大值為 ;(用含a、b的式子表示)。
(2)如圖2,若點A為線段BC外一動點,且BC=4,AB=2,分別以AB,AC為邊,作等邊和等邊,連接CD,BE.
①圖中與線段BE相等的線段是線段 ,并說明理由;
②直接寫出線段BE長的最大值為 。
(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值為 ,及此時點P的坐標(biāo)為 。(提示:等腰直角三角形的三邊長a、b、c滿足a:b:c=1:1:)
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【題目】2019年九龍口詩詞大會在九龍口鎮(zhèn)召開,我校九年級選拔了3名男生和2名女生參加某分會場的志愿者工作.本次學(xué)生志愿者工作一共設(shè)置了三個崗位,分別是引導(dǎo)員、聯(lián)絡(luò)員和咨詢員.
(1)若要從這5名志愿者中隨機選取一位作為引導(dǎo)員,求選到女生的概率;
(2)若甲、乙兩位志愿者都從三個崗位中隨機選擇一個,請你用畫樹狀圖或列表法求出他們恰好選擇同一個崗位的概率.(畫樹狀圖和列表時可用字母代替崗位名稱)
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【題目】已知點A是雙曲線y=-在第二象限分支上的一個動點,連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為底作等腰△ABC,點C在第一象限,且∠ACB=120°,點C的位置隨著點A的運動在不斷變化,但始終在雙曲k線y=上,則k的值為_______.
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【題目】河西中學(xué)九年級共有9個班,300名學(xué)生,學(xué)校要對該年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)水平測試成績進行抽樣分析,請按要求回答下列問題:
(1)(收集數(shù)據(jù))若從所有成績中抽取一個容量為36的樣本,以下抽樣方法中最合理的是________.
①在九年級學(xué)生中隨機抽取36名學(xué)生的成績;
②按男、女各隨機抽取18名學(xué)生的成績;
③按班級在每個班各隨機抽取4名學(xué)生的成績.
(2)(整理數(shù)據(jù))將抽取的36名學(xué)生的成績進行分組,繪制頻數(shù)分布表和成績分布扇形統(tǒng)計圖如下.請根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)填空:
成績(單位:分) | 頻數(shù) | 頻率 |
A類(80~100) | 18 | |
B類(60~79) | 9 | |
C類(40~59) | 6 | |
D類(0~39) | 3 |
①C類和D類部分的圓心角度數(shù)分別為________°、________°;
②估計九年級A、B類學(xué)生一共有________名.
(3)(分析數(shù)據(jù))教育主管部門為了解學(xué)校教學(xué)情況,將河西、復(fù)興兩所中學(xué)的抽樣數(shù)據(jù)進行對比,得下表:
學(xué)校 | 平均數(shù)(分) | 極差(分) | 方差 | A、B類的頻率和 |
河西中學(xué) | 71 | 52 | 432 | 0.75 |
復(fù)興中學(xué) | 71 | 80 | 497 | 0.82 |
你認(rèn)為哪所學(xué)校本次測試成績較好,請說明理由.
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【題目】如圖,把一張矩形的紙ABCD沿對角線BD折疊,使點C落在點E處,BE與AD交于點F.
⑴求證:ΔABF≌ΔEDF;
⑵若將折疊的圖形恢復(fù)原狀,點F與BC邊上的點M正好重合,連接DM,試判斷四邊形BMDF的形狀,并說明理由.
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【題目】閱讀下列材料:如圖1,圓的概念:在平面內(nèi),線段繞它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點所形成的圖形叫做圓.就是說,到某個定點等于定長的所有點在同一個圓上,圓心在,半徑為的圓的方程可以寫為:, 如:圓心在,半徑為5的圓方程為:
(1)填空:以為圓心,為半徑的圓的方程為______;
(2)根據(jù)以上材料解決下列問題:如圖2, 以為圓心的圓與軸相切于原點,是上一點,連接,作垂足為,延長交軸于點,已知.
①連接,證明是的切線;
②在上是否存在一點,使?若存在,求點坐標(biāo),并寫出以為圓心,以為半徑的的方程;若不存在,說明理由.
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【題目】點P的坐標(biāo)是(a,b),從-2,-1,0,1,2這五個數(shù)中任取一個數(shù)作為a的值,再從余下的四個數(shù)中任取一個數(shù)作為b的值,則點P(a,b)在平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的概率是 .
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