Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線(xiàn)段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊△ABO，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線(xiàn)段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線(xiàn)DA交y軸于點(diǎn)E．下列結(jié)論正確的有（　　）個(gè)：
（1）△OBC≌△ABD； 
（2）點(diǎn)E的位置不隨著點(diǎn)C位置的變化而變化，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，

3

）；  
（3）∠DAC的度數(shù)隨著點(diǎn)C位置的變化而改變；  
（4）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0）（m＞1）時(shí)，四邊形ABDC的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=

3

4

m²．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）易證∠OBC=∠ABD，即可證明△OBC≌△ABD，即可解題；
（2）根據(jù)（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根據(jù)直角三角形30°，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以得到AE=2，從而得到E的坐標(biāo)是固定的．
（3）根據(jù)∠OAE=60°可得∠DAC=60°，可得∠DAC的度數(shù)不會(huì)隨著點(diǎn)C位置的變化而改變；即可證明該結(jié)論錯(cuò)誤；
（4）根據(jù)△OBC≌△ABD，可得四邊形ABDC的面積S=S_△ACD+S_△ABD=S_△ACD+S_△OBC，即可解題．

解答：解：（1）∵△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等邊三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，

OB=AB ∠BC=∠ABD BC=BD

，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；（1）正確；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，
∵∠OAE=60°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2OA=2，
∴OE=

22-12

=

3

，
∴點(diǎn)E的位置不會(huì)發(fā)生變化，E的坐標(biāo)為E（0，

3

）；（2）正確；
（3）∵∠OAE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠DAC的度數(shù)不會(huì)隨著點(diǎn)C位置的變化而改變；（3）錯(cuò)誤；
（4）∵△OBC≌△ABD，
∴四邊形ABDC的面積S=S_△ACD+S_△ABD=S_△ACD+S_△OBC
=

1

2

AC•ADsin∠DAC+

1

2

OB•OCsin∠BOC
=

1

2

×（m-1）m×

3

2

+

1

2

×1×m×

3

2

=

3

4

m²，故（4）正確；
故選．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、面積相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△OBC≌△ABD是解題的關(guān)鍵．