Question

如圖(1)，直線與x軸交于點A、與y軸交于點D，以AD為腰，以x軸為底作等腰梯形ABCD(AB＞CD)，且等腰梯形的面積是8，拋物線經(jīng)過等腰梯形的四個頂點.

圖(1)

(1) 求拋物線的解析式；

(2) 如圖（2）若點P為BC上的—個動點（與B、C不重合），以P為圓心，BP長為半徑作圓，與軸的另一個交點為E，作EF⊥AD，垂足為F，請判斷EF與⊙P的位置關(guān)系，并給以證明；

圖（2）

(3) 在（2）的條件下，是否存在點P，使⊙P與y軸相切，如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）EF與⊙P相切.，證明見解析；(3) 存在， x=，P(，)．

【解析】

試題分析：（1）過C作CE⊥AB于E，利用矩形的性質(zhì)分別求得三點的坐標(biāo)，利用求得的點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；

（2）連結(jié)PE，可以得到：PE∥DA，從而得出EF與⊙P相切；

（3）設(shè)⊙P與y軸相切于點G，P作PQ⊥x軸于點Q，設(shè)Q(x,0),用含有x的代數(shù)式分別表示出PG和PB，再根據(jù)PG=PB求出x的值即可．

試題解析：(1) ∵，當(dāng)x=0時， y=；當(dāng)y=0時，x=-2，

∴A(-2,0)，D，

∵ABCD為等腰梯形，

∴AD=BC，∠OAD=∠OBC

過點C作CH⊥AB于點H，則AO=BH，OH=DC.

∵ABCD的面積是，

∴8=，

∴DC=2，

∴C(2, )，B（4,0），

設(shè)拋物線解析式為（），代入A(-2,0)，D，B（4,0）

得，

解得，

即；

（2）連結(jié)PE，∵PE=PB，

∴∠PBE=∠PEB，

∵∠PBE=∠DAB，

∴∠DAB=∠PBE，

∴PE∥DA，

∵EF⊥AD，

∴∠FEP=∠AFF=90°，

又PE為半徑，EF與⊙P相切.；

(3)設(shè)⊙P與y軸相切于點G，P作PQ⊥x軸于點Q，

設(shè)Q(x,0),則QB=4-x，

∵∠PBA=∠DAO，，

∴∠PBA=∠DAO=60°，

∴PQ=， PB=8-2x ，P(x, ),

∵⊙P與y軸相切于點G，⊙P過點B，

∴PG=PB，

∴x=8-2x，

∴x=，P(，)．

考點：二次函數(shù)綜合題．