Question

如圖，⊙O的直徑AB為10，弦BC為6，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE
（1）求AC、AD的長；
（2）試判斷直線PC與圓⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）直接寫出CD的長為

 

．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)BD，如圖，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得∠ACB=90°，則可利用勾股定理計算出AC=8；由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°，根據(jù)圓周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，則△ADB為等腰直角三角形，所以AD=

2

2

AB=5

2

；
（2）連結(jié)OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性質(zhì)得∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，加上∠A=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，則∠OCE+∠PCE=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得PC為⊙O的切線；
（3）點I為Rt△ABC的內(nèi)心，連結(jié)BI，作IF⊥BC于F，如圖，證明BD=BI，得到BI=DA=5

2

，再根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的半徑得IF=2，則CI=2

2

，所以CD=CI+DI=7

2

．

解答：解：（1）連結(jié)BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，
∴AC=

AB2-BC2

=8；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

；
（2）PC與圓⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OC，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°，
而∠A=90°-∠ABC，∠ABC=∠OCB，
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE=90°，
即∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC為⊙O的切線；
（3）點I為Rt△ABC的內(nèi)心，連結(jié)BI，作IF⊥BC于F，如圖，
∵點I為Rt△ABC的內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，
∵∠DIB=∠ICB+∠IBC=45°+∠IBC，∠DBI=∠DBA+∠EBI=45°+∠EBI，
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=BI，
∴BI=DA=5

2

，
∵IF=

6+8-10

2

=2，
∴CI=2

2

，
∴CD=CI+DI=7

2

．
故答案為7

2

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．