Question

如圖，直線AB交x軸正半軸于點A（a，0），交y軸正半軸于點B（0，b），且a、b滿足

a-4

+|4-b|=0
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）D為OA的中點，連接BD，過點O作OE⊥BD于F，交AB于E，求證：∠BDO=∠EDA．

Answer 1

分析：（1）由算是平方根結果大于等于0，絕對值結果大于等于0，又兩者的和為0，可得兩式同時為0，進而求出a與b的值，確定出A與B的坐標即可；
（2）要得到∠BDO=∠EDA，需證明△GDO≌△EDA，接下來找全等條件，過O作OG平分∠AOB，與BD交于點G，由∠AOB為直角，可得∠AOG等于直角的一半為45°，又三角形AOB為等腰直角三角形，可得∠BAO也為45°，故∠AOG=∠BAO，由D為OA的中點可得OD=AD，還差一個條件，利用△BOG≌△OAE可得OG=AE，這兩個三角形全等的方法為：OA=OB，∠OBD與∠ODB互余，∠AOE與∠ODB也互余，故∠OBG=∠AOE，又OG平分∠AOB可得∠BOG=∠BAO=45°，利用ASA可得△BOG≌△OAE，得證．

解答：（1）解：∵

a-4

≥0，|4-b|≥0，且

a-4

+|4-b|=0，
∴

a-4

=0，且|4-b|=0，即a-4=0，且4-b=0，
解得a=4，b=4，
則A（4，0），B（0，4）；

（2）證明：作∠AOB的角平分線，交BD于點G，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠BOG=∠OAE=45°，
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠GOD=∠EAD=45°，
∵∠OBG+∠ODB=90°，∠AOE+∠ODB=90°，
∴∠OBG=∠AOE，
在△BOG和△OAE中，

∠OBG=∠AOE OB=OA ∠BOG=∠OAE=45°

，
∴△BOG≌△OAE（ASA），
∴OG=AE，
又D為OA的中點，得到OD=AD，
在△GDO和△EDA中，

OG=AE ∠GOD=∠EAD OD=AD

，
∴△GDO≌△EDA（SAS）
∴∠BDO=∠EDA．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，非負數(shù)（絕對值及算術平方根）的性質，以及坐標與圖形的性質，要求學生掌握兩非負數(shù)相加為0時其兩加數(shù)同時為0，第二問證明時利用兩次全等的方法得到的，學生做題時注意挖掘題中的隱含條件，比如x軸于y軸夾角為直角，還可利用同角的余角相等及等量代換充分利用已知條件找證明全等三角形的條件，全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形）．其中作出輔助線OG平分∠AOB是第二問的突破點．