【題目】如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是AC上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于E,交∠BCA的外角平分線于F.
(1)請猜測OE與OF的大小關(guān)系,并說明你的理由;
(2)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?寫出推理過程;
(3)點(diǎn)O運(yùn)動到何處且△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?(寫出結(jié)論即可)
【答案】(1)猜想:OE=OF,理由見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)猜想:OE=OF,由已知MN∥BC,CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,所以得EO=CO=FO.
(2)由(1)得出的EO=CO=FO,點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),則由EO=CO=FO=AO,所以這時(shí)四邊形AECF是矩形.
(3)由已知和(2)得到的結(jié)論,點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí),則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直,所以四邊形AECF是正方形.
(1)猜想:OE=OF,理由如下:
∵M(jìn)N∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴EO=CO,F(xiàn)O=CO,∴EO=FO.
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),AO=CO,
又∵EO=FO,∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,∴四邊形AECF是矩形.
(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí),四邊形AECF是正方形.
∵由(2)知,當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形,
已知MN∥BC,當(dāng)∠ACB=90°,則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,∴AC⊥EF,∴四邊形AECF是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AE是△ABC的角平分線,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),若∠BAC=104°,∠C=40°,則有下列結(jié)論:①∠BAE=52°;②∠DAE=2°;③EF=ED;④S△ABF=S△ABC.其中正確的個數(shù)有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線,BA2是∠A1BD的平分線,CA2是∠A1CD的平分線,BA3是∠A2BD的平分線,CA3是∠A2CD的平分線.若∠A1=α,則∠A2019=________.
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【題目】媽媽要榨果汁,她有蘋果、橙子、雪梨三種水果,且其顆數(shù)比為 9:7:6, 她榨完果汁后,蘋果、橙子、雪梨的顆數(shù)比變?yōu)?/span> 6:3:4,已知媽媽榨果汁時(shí)沒有使用雪梨, 小明根據(jù)他的發(fā)現(xiàn)利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識推斷出媽媽榨果汁時(shí)只使用了橙子,媽媽告訴小明他的推斷是完全正確的。請你嘗試寫出小明的推斷過程。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某個正方體的表面展開圖,各個面上分別標(biāo)有1﹣6的不同數(shù)字,若將其折疊成正方體,則相交于同一個頂點(diǎn)的三個面上的數(shù)字之和最大的是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)小強(qiáng)用5個大小一樣的正方形制成如圖所示的拼接圖形(陰影部分),請你在圖中的拼接圖形上再接一個正方形,使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子.注意:添加四個符合要求的正方形,并用陰影表示.
(2)先用三角板畫∠AOB=60°,∠BOC=45°,然后計(jì)算∠AOC的度數(shù).
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【題目】如圖,點(diǎn)O(0,0),A(0,1)是正方形OAA1B的兩個頂點(diǎn),以O(shè)A1對角線為邊作正方形OA1A2B1 , 再以正方形的對角線OA2作正方形OA1A2B1 , …,依此規(guī)律,則點(diǎn)A2017的坐標(biāo)是( )
A.(0,21008)
B.( , )
C.( ,0)
D.( ,- )
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【題目】已知直線 l1 經(jīng)過點(diǎn) A(5,0)和點(diǎn) B(,﹣5)
(1)求直線 l1 的表達(dá)式;
(2)設(shè)直線 l2 的解析式為 y=﹣2x+2,且 l2 與 x 軸交于點(diǎn) D,直線 l1 交 l2 于點(diǎn) C, 求△CAD 的面積.
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【題目】(1)如圖示,AB∥CD,且點(diǎn)E在射線AB與CD之間,請說明∠AEC=∠A+∠C的理由.
(2)現(xiàn)在如圖b示,仍有AB∥CD,但點(diǎn)E在AB與CD的上方,①請嘗試探索∠1,∠2,∠E三者的數(shù)量關(guān)系. ②請說明理由.
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