Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²+（m+2）x+2過點（2，4），且與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．點D的坐標為（2，0），連接CA，CB，CD．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接DP交BC于點E．
①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出點E的坐標；
②連接CP，當△CDP的面積最大時，求點E的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點（2，4）代入拋物線解析式計算即可求出m的值，然后求出點A、B、C的坐標，過點B作BM⊥CD交CD的延長線于M，然后求出∠CDO=∠BDM=45°，利用勾股定理列式分別求出CD、DM、BM，再根據(jù)銳角的正切相等證明即可；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再分BE=DE時，利用等腰三角形三線合一的性質求解，BE=BD時，利用∠OBC的正弦和余弦求解；
②根據(jù)拋物線解析式設出點P的坐標，過點P作x軸的垂線，垂足為F，交CD的延長線于點Q，再求出直線CD的解析式，然后寫出點Q的坐標，再根據(jù)S_△CDP=S_△CPQ-S_△DPQ列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值問題求出點P的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線PD的解析式，聯(lián)立直線PD、BC的解析式，求解即可得到點E的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=mx²+（m+2）x+2過點（2，4），
∴m•2²+2（m+2）+2=4，
解得m=-

1

3

，
∴拋物線解析式為y=-

1

3

x²+

5

3

x+2，
令y=0，則-

1

3

x²+

5

3

x+2=0，
整理得，x²-5x-6=0，
解得x₁=-1，x₂=6，
令x=0，則y=2，
∴A（-1，0），B（6，0），C（0，2），
過點B作BM⊥CD交CD的延長線于M，
在Rt△DOC中，∵OC=OD=2，
∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2

2

，
在Rt△BMD中，∵BD=6-2=4，
∴DM=BM=4×

2

2

=2

2

，
在Rt△CMB中，tan∠BCM=

BM

CM

=

2 2

2 2 +2 2

=

1

2

，
又∵tan∠ACO=

AO

CO

=

1

2

，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）①由勾股定理得，BC=

22+62

=2

10

，
BE=DE時，點E的橫坐標為6-

1

2

×（6-2）=4，
點E的縱坐標是

1

2

×（6-2）×

2

6

=

2

3

，
所以，點E₁（4，

2

3

）；
BE=BD時，點E的橫坐標為6-（6-2）×

6

2 10

=6-

6 10

5

，
點E的縱坐標為（6-2）×

2

2 10

=

2 10

5

，
所以，點E₂（6-

6 10

5

，

2 10

5

），
綜上所述，點E₁（4，

2

3

）或E₂（6-

6 10

5

，

2 10

5

）時，△BDE是等腰三角形；

②設P（x，-

1

3

x²+

5

3

x+2），
過點P作x軸的垂線，垂足為F，交CD的延長線于點Q，
則直線CD的解析式為y=-x+2，
∴點Q（x，-x+2），
S_△CDP=S_△CPQ-S_△DPQ，
=

1

2

PQ•OF-

1

2

PQ•DF，
=

1

2

PQ•OD，
∵OD=2，
∴S_△CDP=PQ=-

1

3

x²+

5

3

x+2-（-x+2）=-

1

3

x²+

8

3

x（0＜x＜6），
∵S=-

1

3

x²+

8

3

x=-

1

3

（x-4）²+

16

3

，
∴當x=4時，△CDP的面積最大，
此時，-

1

3

x²+

5

3

x+2=-

1

3

×4²+

5

3

×4+2=

10

3

，
∴點P（4，

10

3

），
設直線PD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

4k+b= 10 3 2k+b=0

，
解得

k= 5 3 b=- 10 3

，
∴直線PD的解析式為y=

5

3

x-

10

3

，
直線BC的解析式為y=-

1

3

x+2，
聯(lián)立

y=- 1 3 x+2 y= 5 3 x- 10 3

，
解得

x= 8 3 y= 10 9

，
所以，點E的坐標為（

8

3

，

10

9

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，（2）①難點在于要分情況討論，（2）②根據(jù)三角形的面積等于兩個三角形的面積的差列式整理是解題的關鍵．