如圖1,已知拋物線y=a(x-
7
2
2+c與x軸交與A、B兩點,與y軸交與點C,B點坐標(biāo)為(6,0),C點坐標(biāo)為(0,-3).點P是線段AB上的一個動點(點P不與A、B兩點重合).在點P運動過程中,始終有一條過點P且和y軸平行的直線也隨之運動,該直線與拋物線的交點為M,與直線BC的交點為N.
(1)①求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
 ②直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式.
(2)①如圖2,連接MO、MB、ON,設(shè)四邊形OMBN的面積為S,在點P的運動過程中,S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
②當(dāng)S的值最大時,在拋物線的對稱軸上是否存在一點F,使△MNE的周長最小?若存在,請求出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)如圖3,過點N作NH⊥y軸于點H,連接MH,在點P的運動過程中,當(dāng)△MNH和△OBC相似時,求出點M的坐標(biāo).
考點:二次函數(shù)綜合題
專題:綜合題
分析:(1)①將B點、C點的坐標(biāo)代入,利用待定系數(shù)法可確定拋物線的函數(shù)表達(dá)式;②由B、C兩點的坐標(biāo),可得直線BC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)①設(shè)P(x,0),則M(x,-
1
2
x2+
7
2
x-3),N(x,
1
2
x-3),表示出MN,繼而得出S的表達(dá)式.利用配方法求最值即可;
②由題意得:M(3,3),N(3,-
3
2
),則M(3,3)關(guān)于x=
7
2
的對稱點M1為(4,3),求出直線M1N的表達(dá)式,根據(jù)點F的橫坐標(biāo)為
7
2
,可求出點F的縱坐標(biāo),繼而得出點E的坐標(biāo).
(3)分兩種情況討論,①△NMH∽△OBC,②△NMH∽△OCB,根據(jù)對應(yīng)邊成比例解出x的值,繼而可得點M的坐標(biāo).
解答:解:(1)①將點B(6,0),點C(0,-3)代入拋物線解析式可得:
0=
25
4
a+c
-3=
49
4
a+c
,
解得:
a=-
1
2
c=
25
8
,
∴y=-
1
2
(x-
7
2
)+
25
8

②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
6k+b=0
b=-3
,
解得:
k=
1
2
b=-3
,
∴直線BC的解析式為:y=
1
2
x-3.

(2)①設(shè)P(x,0),則M(x,-
1
2
x2+
7
2
x-3),N(x,
1
2
x-3),
∴MN=-
1
2
x2+
7
2
x-3-(
1
2
x-3)=-
1
2
x2+3x,
S=
1
2
(-
1
2
x2+3x)×6
=-
3
2
x2+9x
=-
3
2
(x2-6x+9-9)
=-
3
2
(x-3)2+
27
2

∵-
3
2
<0,
∴當(dāng)x=3時,S最大=
27
2

②由題意得:M(3,3),N(3,-
3
2
),
M(3,3)關(guān)于x=
7
2
的對稱點M1為(4,3),
設(shè)直線M1N的表達(dá)式為y=mx+n,將(4,3),(3,-
3
2
)代入得:
4m+n=3
3m+n=-
3
2

解得:
m=
9
2
n=-15
,
∴y=
9
2
x-15
令x=
7
2

∴y=
3
4
,
∴F(
7
2
,
3
4
).

(3)當(dāng)△NMH∽△OBC,則
-
1
2
x2+3x
x
=
6
3
=2,
解得:x1=0(舍去),x2=2,
∴M(2,2).
當(dāng)△NMH∽△OCB,則
-
1
2
x2+3x
x
=
3
6
=
1
2
,
解得:x1=0(舍去),x2=5,
∴M(5,2).
綜上所述:點M的坐標(biāo)為(5,2)或(2,2).
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合,涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、配方法求二次函數(shù)最值及利用軸對稱求最短路徑的知識,綜合的知識點較多,解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的運用,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

據(jù)報道,截止2013年12月我國網(wǎng)民規(guī)模達(dá)618 000 000人.將618 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于半徑為r的⊙P及一個正方形給出如下定義:若⊙P上存在到此正方形四條邊距離都相等的點,則稱⊙P是該正方形的“等距圓”.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為(2,4),頂點C、D在x軸上,且點C在點D的左側(cè).
(1)當(dāng)r=4
2
時,
①在P1(0,-3),P2(4,6),P34
2
,2)中可以成為正方形ABCD的“等距圓”的圓心的是
 

②若點P在直線y=-x+2上,且⊙P是正方形ABCD的“等距圓”,則點P的坐標(biāo)為
 

(2)如圖2,在正方形ABCD所在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形EFGH的頂點F的坐標(biāo)為(6,2),頂點E、H在y軸上,且點H在點E的上方.
①若⊙P同時為上述兩個正方形的“等距圓”,且與BC所在直線相切,求⊙P在y軸上截得的弦長;
②將正方形ABCD繞著點D旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,線段HF上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心,則r的取值范圍是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A、B,交y軸于點C,其中點B坐標(biāo)為(1,0),同時拋物線還經(jīng)過點(-2,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在直線y=kx+n(k≠0)與拋物線交于點M、N,使y軸平分△CMN的面積?若存在,求出k、n應(yīng)滿足的條件;若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)拋物線的對稱軸與拋物線交于點E,與x軸交于點H,連接EC、EO,將拋物線向下平移m(m>0)個單位,當(dāng)EO平分∠CEH時,求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

先化簡,再求值:
4
x-1
x2-1
2
-3(x-1),其中x=2.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

州教育局為了解我州八年級學(xué)生參加社會實踐活動情況,隨機抽查了某縣部分八年級學(xué)生第一學(xué)期參加社會實踐活動的天數(shù),并用得到的數(shù)據(jù)檢測了兩幅統(tǒng)計圖,下面給出了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖)

請根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)a=
 
%,并寫出該扇形所對圓心角的度數(shù)為
 
,請補全條形圖.
(2)在這次抽樣調(diào)查中,眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少?
(3)如果該縣共有八年級學(xué)生2000人,請你估計“活動時間不少于7天”的學(xué)生人數(shù)大約有多少人?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校課外小組為了解同學(xué)們對學(xué)校“陽光跑操”活動的喜歡程度,抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,被調(diào)查的每個學(xué)生按A(非常喜歡)、B(比較喜歡)、C(一般)、D(不喜歡)四個等級對活動評價,圖1和圖2是該小組采集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅統(tǒng)計圖,經(jīng)確認(rèn)扇形統(tǒng)計圖是正確的,而條形統(tǒng)計圖尚有一處錯誤且并不完整.請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息.解答下列問題:

(1)此次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為
 
;
(2)條形統(tǒng)計圖中存在錯誤的是
 
(填A(yù)、B、C、D中的一個),并在圖中加以改正;
(3)在圖2中補畫條形統(tǒng)計圖中不完整的部分;
(4)如果該校有600名學(xué)生,那么對此活動“非常喜歡”和“比較喜歡”的學(xué)生共有多少人?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)解方程:
3
x-1
-
x+2
x(x-1)
=0   
(2)解不等式組:
1-
x+1
3
≥0
3-4(x-1)<1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=
x+1
+
2
x
中,自變量x的取值范圍是
 

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同步練習(xí)冊答案