Question

（14分）如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，以O(shè)A為直徑作⊙P，C是⊙P上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接AC并延長(zhǎng)與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，)。

（1）求證：OE=CE；（6分）

（2）請(qǐng)判斷直線CD與⊙P位置關(guān)系，證明你的結(jié)論，并請(qǐng)求出⊙P的半徑長(zhǎng)。（8分）

 

Answer 1

(2) 直線CD是⊙P的切線, r=6

【解析】

試題分析：（1）連接OC，利用已知條件計(jì)算出CE和OB的長(zhǎng)度，再證明△BCO為直角三角形，利用：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明OE=CE；

（2）①直線CD是⊙P的切線，證明PC⊥CD．②設(shè)⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理得到關(guān)于r的方程，求出r即可．

試題解析：

證明：連結(jié)OC，

∵ 直線y=x＋2與y軸相交于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，2)，

即OE=2。

又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，4)，

∴OB=4，

∴ BE=OE=2，

又∵OA是⊙P的直徑，

∴ ∠ACO=90º，

即OC⊥AB，

∴OE=CE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．

（2）直線CD是⊙P的切線．

證明：連結(jié)PC、PE，由①可知：OE=CE．

在△POE和△PCE，

∴ △POE≌△PCE，

∴∠POE=∠PCE．

又∵x軸⊥y軸，

∴∠POE=∠PCE=90º，

∴PC⊥CE，

即：PC⊥CD。

又∵直線CD經(jīng)過(guò)半徑PC的外端點(diǎn)C，

∴直線CD是⊙P的切線。

∵ 對(duì)，

當(dāng)y=0時(shí)，，

即OD=6，

在Rt△DOE中，，

∴ CD=DE+EC=DE+OE=。

設(shè)⊙P的半徑為r，則在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2+CD2=PD2，

即r2+()2=(6+r)2，

解得r=6，

即⊙P的半徑長(zhǎng)為6。

考點(diǎn)：勾股定理及逆定理，切線的判定，直角三角形斜邊的的中點(diǎn)的性質(zhì)