Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C（點(diǎn)C點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)P是第二象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積最大？最大面積是多少？

（3）當(dāng)（2）中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△PAB的面積最大時(shí)，x軸上是否存在點(diǎn)D，使△PDB的周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在。請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）拋物線解析式為y=-x2-3x+4．C（1，0）．（2）P（-2，6），8；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，0）．

【解析】

試題分析：（1）把A（-4，0），B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c，可得出拋物線解析式，當(dāng)y=0時(shí)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（2）設(shè)y=x+b與拋物線y=-x2-3x+4只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積最大，利用判別式求出b的值，再聯(lián)立可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PN交PN于點(diǎn)M，利用三角函數(shù)求出BM，再利用△PAB的面積公式即可求出答案．

（3）連接BP，作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′P，交x軸于點(diǎn)D，這時(shí)△PDB的周長(zhǎng)最�。�先求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)求出PB′所在的直線，即可求出與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴A（-4，0），B（0，4）拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，可得

，

解得，

∴拋物線解析式為y=-x2-3x+4．

令y=0，得-x2-3x+4=0，

解得x1=-4，x2=1，

∴C（1，0）．

（2）如圖1，

設(shè)y=x+b與拋物線y=-x2-3x+4只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積最大，

∵由x+b=-x2-3x+4化簡(jiǎn)x2+4x+b-4只有一個(gè)解，得△=16-4×（b-4）=32-4b=0，解得b=8．

∴y=x+8，

∴聯(lián)立得方程組得，

解得，

∴P（-2，6）

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PN交PN于點(diǎn)M，

∵BN=ON-OB=8-4=4，sin∠MNB=，

∴BM=4×=2，

△PAB的面積=ABBM=×4×2=8．

（3）存在．

如圖2，

連接BP，作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′P，交x軸于點(diǎn)D，這時(shí)△PDB的周長(zhǎng)最�。�

∵點(diǎn)B（0，4），

∴點(diǎn)B′（0，-4），

∵P（-2，6）

∴設(shè)PB′所在的直線為y=kx+b得

，

解得

∴PB′所在的直線為y=-5x-4，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，0）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．