Question

如圖，△ABC和△ADE都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連結(jié)BD，BE，CE，延長CE交AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．
（1）求證：△AFC∽△GFB；
（2）若△ADE是邊長可變化的等腰直角三角形，并將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使CE的延長線始終與線段BD（包括端點(diǎn)B、D）相交．當(dāng)△BDE為等腰直角三角形時(shí)，求出AB：BE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用SAS即可證明：△ADB≌△AEC，證得∠DBA=∠ECA，則根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證得；
（2）分當(dāng)∠DEB=90°，當(dāng)∠EDB=90°，當(dāng)∠DBE=90°三種情況進(jìn)行討論．分別利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）證明：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°．
∴∠DAB=∠EAC．
∴在△ADB和△AEC中，

AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

∴△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
又∵∠GFB=∠AFC，
∴△AFC∽△GFB．
（2）解：∵△AFC∽△GFB，
∴∠FGB=∠FAC=90°．
①當(dāng)∠DEB=90°，DE=BE時(shí)，如圖①所示，
設(shè)AD=AE=x，則DE=

2

x．
∵△BDE為等腰直角三角形，
∴BE=DE=

2

x．
∴BD=2x．
∵∠ADB=∠ADE+∠EDB=45°+45°=90°，
∴AB=

AD2+BD2

=

5

x．
∴AB：BC=

5

：

2

；
②當(dāng)∠EDB=90°，DE=DB時(shí)，如圖②所示，
同理設(shè)AD=AE=x，則DE=

2

x=BD．
∴BE=2x．
∵∠AEB=90°，
∴AB=

AE2+BE2

=

5

x．
∴AB：BE=

5

：2．
③當(dāng)∠DBE=90°，BD=BE時(shí)，如圖③所示，
同理設(shè)AD=AE=x，則DE=

2

x．
∴BD=BE=x．
∴四邊形ADBE是正方形，
∴AB=DE=

2

x．
∴AB：BE=

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與勾股定理，注意到分三種情況討論，正確作出對應(yīng)的圖形是解決本題的關(guān)鍵．