【題目】如圖,是的直徑,是的弦,延長到點,使,連結(jié),過點作,垂足為,交的延長線于點.
求證:為的切線;
猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
若,,求線段的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).理由見解析;(3).
【解析】
(1)連接OD,由AO=BO,BD=DC,可判斷OD為△BAC的中位線,則OD∥AC,由于EF⊥AC,則EF⊥OD,于是可根據(jù)切線的判定定理得到EF為⊙O的切線;
(2)連結(jié)AD,根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°,而BD=CD,根據(jù)等腰三角形的判定得AB=AC,再根據(jù)等角的余角相等得到∠DAB=∠BDF,則可判斷△FBD∽△FDA,得到DF:AF=BF:DF,理由比例性質(zhì)得DF2=BFFA=BF(BF+AB),所以DF2=BF2+BFAC;
(3)先得到OD=,AB=AC=5.在Rt△ACD中,由正切的定義得到AD=2CD,再根據(jù)勾股定理可解得CD=.在Rt△ECD中,同樣可求得CE=1,則DE=2,AE=AC﹣CE=4,然后根據(jù)△FOD∽△FAE,利用相似比可求出EF的長.
(1)連接OD,如圖,∵AO=BO,BD=DC,∴OD∥AC.
∵EF⊥AC,∴EF⊥OD.
∵OD為半徑,∴EF為⊙O的切線;
(2)DF2=BF2+BFAC.理由如下:
連結(jié)AD,如圖,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,而BD=CD,∴AB=AC,∠DAB+∠ABD=90°.
∵OD⊥DF,∴∠ODB+∠BDF=90°,而OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠DAB=∠BDF,而∠BFD=∠DFA,∴△FBD∽△FDA,∴DF:AF=BF:DF,∴DF2=BFFA,∴DF2=BF(BF+AB)
∴DF2=BF2+BFAC;
(3)∵AO=,∴OD=,AB=AC=5.在Rt△ACD中,tanC==2,∴AD=2CD.
∵AD2+CD2=AC2,∴4CD2+CD2=52,解得:CD=Rt△ECD中,tanC==2,∴DE=2CE.
∵DE2+CE2=CD2,∴4CE2+CE2=5,解得:CE=1,∴DE=2,AE=AC﹣CE=4.
∵OD∥AE,∴△FOD∽△FAE,∴=,即=,∴EF=.
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【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,AE=CD,AD,BE相交于點P,BQ⊥AD于點Q,PQ=3,PE=1.
(1)求證:∠ABE=∠CAD;
(2)求BP和AD的長.
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【題目】如圖,已知為等邊三角形,點由點出發(fā),在延長線上運動,連接,以為邊作等邊三角形,連接.
(1)證明:;
(2)若,點的運動速度為每秒,運動時間為秒,則為何值時,?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長方形的邊,分別在軸,軸上,點在邊上,將該長方形沿折疊,點恰好落在邊上的點處,若,,則所在直線的表達式為__________.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O外一點,AB=AC,連接BC,交⊙O于點D,過點D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)求證:DE與⊙O相切.
(2)若∠B=30°,AB=4,則圖中陰影部分的面積是 (結(jié)果保留根號和π).
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【題目】如圖,∠AOB=60°,OA=OB,動點C從點O出發(fā),沿射線OB方向移動,以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD,連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是( 。
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 平行、相交或垂直
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【題目】如圖,在△ABC 中,AD 是 BC 邊上的高,且∠ACB=∠BAD,AE 平分∠CAD,交 BC于點 E,過點 E 作 EF∥AC,分別交 AB、AD 于點 F、G.則下列結(jié)論:①∠BAC=90°;②∠AEF=∠BEF; ③∠BAE=∠BEA; ④∠B=2∠AEF,其中正確的有( )
A. 4 個B. 3 個C. 2 個D. 1 個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點是的角平分線上一點,于點,點是線段上一點.已知,,點為上一點.若滿足,則的長度為( )
A.3B.5C.5和7D.3或7
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