Question

如圖所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E是AC的中點，CD⊥AC，ED交BC于F．若CD=AB，求證：AF⊥BE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：易證△ABE≌△CDE，△ACF≌△DCF，即可得∠ABE=∠CDE，∠CDE=∠CAF，根據(jù)∠ABE+∠AEB=90°即可求得∠AHE=90°，即可解題．

解答：解：如圖，

在△ABE和△CDE中，

AB=CD ∠BAE=∠DCE AE=CD

，
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE=∠CDE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACF=45°，
∴∠DCF=45°，
在△ACF和△DCF中，

AC=CD ∠ACF=∠DCF CF=CF

，
∴△ACF≌△DCF（SAS）
∴∠CAF=∠CDF，
∴∠CAF=∠ABE，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠CAF+∠AEB=90°，
∴∠AHE=90°．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△ABE≌△CDE和△ACF≌△DCF是解題的關鍵．