Question

如圖1，⊙O的半徑為5，弦AB=8．
（1）求點(diǎn)O到AB的距離OM的長(zhǎng)；
（2）P點(diǎn)是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），作?APBQ，如圖2，求PQ的最小值；
（3）P點(diǎn)是優(yōu)弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），作?APBQ，如圖3，求PQ的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OA，作OM⊥AB于M，如圖1，根據(jù)垂徑定理得AM=

1

2

AB=4，然后在Rt△OAM中，根據(jù)勾股定理計(jì)算OM=3；
（2）由于AM=BM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，M點(diǎn)為平行四邊形APBQ的對(duì)角線的交點(diǎn)，則PM=MQ，所以當(dāng)P點(diǎn)到M點(diǎn)的距離最小時(shí)，PQ最小，而P點(diǎn)為OM的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，PM最小，如圖2，易得PM=2，于是得到PQ的最小值為4；
（3）由于AM=BM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，M點(diǎn)為平行四邊形APBQ的對(duì)角線的交點(diǎn)，則PM=MQ，所以當(dāng)P點(diǎn)到M點(diǎn)的距離最大時(shí)，PQ最大，而P點(diǎn)為MO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，PM最大，如圖3，易得PM=8，于是得到PQ的最大值為16．

解答：解：（1）連接OA，作OM⊥AB于M，如圖1，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
在Rt△OAM中，∵OA=5，AM=4，
∴OM=

OA2-AM2

=3，
即點(diǎn)O到AB的距離OM的長(zhǎng)為3；
（2）∵四邊形APBQ為平行四邊形，
而AM=BM，
∴PM=MQ，
∴當(dāng)P點(diǎn)到M點(diǎn)的距離最小時(shí)，PQ最小，
此時(shí)P點(diǎn)為OM的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)，如圖2，
∵OM=3，
∴PM=2，
∴PQ=2PM=4，
即PQ的最小值為4；
（3）∵四邊形APBQ為平行四邊形，
而AM=BM，
∴PM=MQ，
∴當(dāng)P點(diǎn)到M點(diǎn)的距離最大時(shí)，PQ最大，
此時(shí)P點(diǎn)為MO的延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn)，如圖3，
∵OM=3，
∴PM=OM+OP=8，
∴PQ=2PM=16
即PQ的最大值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．