Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（4，0）、B（0，3），動點P、Q同時從原點O出發(fā)，其中點P沿線段OA向終點A運動，速度為

3

單位/秒；點Q沿線段OB向終點B運動，速度為1單位/秒，當其中一個點到終點時另一個點也隨之停止，設(shè)運動時間為t秒．當以PQ為直徑的圓與線段AB有兩個公共點時，t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題,解一元一次不等式組,勾股定理,直線與圓的位置關(guān)系,平行線分線段成比例,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：以PQ為直徑作⊙M，過點M作MH⊥AB于H，過點Q作QD⊥AB于D，過點P作PC⊥AB于C，易得QD∥MH∥PC，MQ=MP．根據(jù)平行線分線段成比例得CH=DH，再根據(jù)梯形的中位線定理可得MH=

1

2

（QD+PC）．然后利用三角函數(shù)將DQ、PC用t的代數(shù)式表示，進而用t的代數(shù)式表示出MH，由⊙M與線段AB有兩個公共點可得MH＜

1

2

PQ，從而得到t的一個范圍，再由其中一個點到終點時另一個點也隨之停止可得t的又一個取值范圍，就可解決問題．

解答：解：以PQ為直徑作⊙M，過點M作MH⊥AB于H，
過點Q作QD⊥AB于D，過點P作PC⊥AB于C，如圖所示．
則有QD∥MH∥PC，MQ=MP．
根據(jù)平行線分線段成比例得：CH=DH．
由梯形中位線定理可得：MH=

1

2

（QD+PC）．
由題可得：OA=4，OB=3，OP=

3

t，OQ=t．
則有BQ=3-t，AP=4-

3

t．
∵∠AOB=90°，∴AB=5，PQ=

t2+3t2

=2t．
由sin∠OBA=

OA

AB

=

QD

BQ

得：QD=

4

5

（3-t）=

12-4t

5

．
由sin∠OAB=

PC

PA

=

OB

AB

得：PC=

3

5

（4-

3

t）=

12-3 3 t

5

．
∴MH=

1

2

（

12-4t

5

+

12-3 3 t

5

）=

24-(4+3 3 )t

10

．
由⊙M與線段AB有兩個公共點可得：MH＜

1

2

PQ．
則有

24-(4+3 3 )t

10

＜t．
解得：t＞

336-72 3

169

．
由其中一個點到終點時另一個點也隨之停止可得：

3 t≤4 t≤3

．
解得：t≤

4 3

3

．
∴t的取值范圍是

336-72 3

169

＜t≤

4 3

3

．
故答案為：

336-72 3

169

＜t≤

4 3

3

．

點評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、平行線分線段成比例、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、解不等式組等知識，而利用梯形中位線定理表示出圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．