Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(2，﹣3)，且與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，0)，(3，0)

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線AB下方拋物線上找一點(diǎn)D，求出使得△ABD面積最大時點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）當(dāng)D坐標(biāo)為（，-）時，△ABD的面積最大；（3）存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）、（4，5）、（-2，5）.

【解析】

（1）把交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函數(shù)的表達(dá)式，即可求解；
（2）如圖，過D點(diǎn)做DF⊥x軸于F，交AB于E，設(shè)出D，E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)S△ABD=DE×（xA-xB）即可求解；
（3）分情況進(jìn)行討論，當(dāng)AB是為平行四邊形的邊長時，如圖所示，M1、M2為所求點(diǎn)；當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，M3與點(diǎn)C重合，即可求解．

（1）把交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函數(shù)的表達(dá)式得，

，

解得：a=1，b=-2，c=﹣3，

故二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-2x-3；

（2）如圖，過D點(diǎn)做DF⊥x軸于F，交AB于E，

把A（2，-3），B（-1，0）代入一次函數(shù)表達(dá)式得直線AB的方程為：y=-x-1，

設(shè)：D（m，m2-2m-3），E（m，-m-1），

∴DE=-m-1-（m2-2m-3）=-m2+m+2，

S△ABD=DE×（xA-xB）=-（m-）2+，

∴當(dāng)D坐標(biāo)為（，-）時，△ABD的面積最大；

（3）當(dāng)AB是為平行四邊形的邊長時，

①如圖，

∵四邊形ANM1B為平行四邊形，

∴△ANH≌△BM1G，

則M1的橫坐標(biāo)為：-2，代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：M1坐標(biāo)為（-2，5）；

②如圖，

∵四邊形ANM2B為平行四邊形，

∴△ABG≌△NHM2，

則M2的橫坐標(biāo)為：4，代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：M2坐標(biāo)為（4，5）；

當(dāng)AB時平行四邊形的對角線時，如下圖所示，

M3與點(diǎn)C重合，

故M3（0，-3）；

故M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，-3）、（4，5）、（-2，5）．