Question

【題目】已知點(diǎn)P是拋物線上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線y＝﹣1的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，3）的距離為d2

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

（2）判斷d1，d2的大小關(guān)系并證明；

（3）若線段PF的延長線交拋物線于點(diǎn)Q，且線段PQ的長度是m，線段PQ的中點(diǎn)M到x軸的距離是n．直接寫出m與n關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，1），對(duì)稱軸為y軸；（2）d1＝d2，見解析；（3）m＝2n+2．

【解析】

(1)拋物線的解析式是已知的，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解.

(2)設(shè)P（m，m2+1），分別得出d1和d2的平方值，通過比較即可得出d1和d2的大小關(guān)系.

(3)作QS⊥x軸，PR⊥x軸，取RS中點(diǎn)N，連接MN，那么MN就是梯形PRSQ的中位線，即可得出2MN＝QS+PR，從而得出m和n的關(guān)系.

解：（1）∵拋物線的解析式為：，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，1），對(duì)稱軸為y軸；

（2）設(shè)P（m，m2+1）

則d12＝（m2+2）2＝

d22＝m2+（3﹣m2﹣1）2＝

∴d12＝d22

∵d1＞0，d2＞0

∴d1＝d2；

（3）作QS⊥x軸，PR⊥x軸，取RS中點(diǎn)N，連接MN，

同（2）可證得QS＝QF﹣1，PR＝PF﹣1，

由梯形中位線：2MN＝QS+PR＝QF﹣1+PF﹣1＝QP﹣2，

則2n＝m﹣2，

所以m＝2n+2．