Question

如圖，已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑做圓O，與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點，連接DE.

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE、AE，當∠CAB為何值時，四邊形AODE是平行四邊形，并說明理由；
（3）在(2)的條件下，求sin∠CAE的值.

Answer 1

（1）通過證明∠ODE=90°，OD⊥DE，得DE是⊙O的切線 （2）  當∠CAB=45°時，四邊形AODE是平行四邊形 （3）     

試題分析：（1）證明：連接OD、BD.
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，
∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠BDC=90°，
∵E為BC邊的中點，∴BE=DE=CE=BC
∴∠BDE=∠DBE, ∵OB="BD," ∴∠OBD=∠ODB,
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線.         

（2）解：當∠CAB=45°時，四邊形AODE是平行四邊形.
又∵∠ABC =90°，∴∠CAB=∠C =45°，∴AB=BC.
同理可得BD="CD," ∵∠BDC=90°，E為BC邊的中點，
∴DE⊥BC, ∴∠CED=∠ABC =90°, ∴DE∥AB.
又∵DE=BC,OA=AB, ∴DE=OA.
∴四邊形AODE是平行四邊形.  
（3）過點E作EF⊥AC交AC于點F,設EF=x，則CE=BE=x,BC=AB=2x,
在Rt△ABE中，AE==x
在Rt△AFE中，sin∠CAE===
點評：本題考查直線與圓相切，平行四邊形，掌握直線與圓相切的概念和性質，并能判斷直線與圓相切，掌握平行四邊形的判定方法，會判定一個四邊形是平行四邊形