Question

如圖，在邊長為6

2

的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長線上一點(diǎn)，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，連接CE，BH．若BH=8，則FG=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,壓軸題

分析：如解答圖，連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；過點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，進(jìn)而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的長度．

解答：解：如圖所示，連接CG．
在△CGD與△CEB中

BE=DG ∠EBC=∠GDC=90° BC=DC

∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH．
過點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，則∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN．
在△HEM與△HCN中，

∠1=∠2 EH=CH ∠HEM=∠HCN

∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM=HN，
∴四邊形MBNH為正方形．
∵BH=8，
∴BN=HN=4

2

，
∴CN=BC-BN=6

2

-4

2

=2

2

．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2

10

．
∴GH=CH=2

10

．
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴

CH

FG

=

HN

GH

，即

2 10

FG

=

4 2

2 10

，
∴FG=5

2

．
故答案為：5

2

．

點(diǎn)評：本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識點(diǎn)，難度較大．作出輔助線構(gòu)造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵．