Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于⊙A上一點B及⊙A外一點P，給出如下定義：若直線PB與 x軸有公共點（記作M），則稱直線PB為⊙A的“x關(guān)聯(lián)直線”，記作l_PBM．
（1）已知⊙O是以原點為圓心，1為半徑的圓，點P（0，2），
①直線l₁：y=2，直線l₂：y=x+2，直線l₃：y=

3

x+2，直線l₄：y=-2x+2都經(jīng)過點P，在直線l₁，l₂，l₃，l₄中，是⊙O的“x關(guān)聯(lián)直線”的是

 

；
②若直線l_PBM是⊙O的“x關(guān)聯(lián)直線”，則點M的橫坐標(biāo)x_M的最大值是

 

；
（2）點A（2，0），⊙A的半徑為1，
①若P（-1，2），⊙A的“x關(guān)聯(lián)直線”l_PBM：y=kx+k+2，點M的橫坐標(biāo)為x_M，當(dāng)x_M最大時，求k的值；
②若P是y軸上一個動點，且點P的縱坐標(biāo)y_p＞2，⊙A的兩條“x關(guān)聯(lián)直線”l_PCM，l_PDN是⊙A的兩條切線，切點分別為C，D，作直線CD與x軸交于點E，當(dāng)點P的位置發(fā)生變化時，AE的長度是否發(fā)生改變？并說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）①討論是否為關(guān)聯(lián)直線最直接的方式就是畫圖確定圓與直線是否有交點，畫圖易得l₁，l₂無交點，非關(guān)聯(lián)直線，而l₄有兩個交點，為關(guān)聯(lián)直線，對l₃近似相切，則需要求證判斷，利用求證相切的常規(guī)作法，作垂線討論圓心到直線距離是否與半徑相等易得結(jié)論．
②畫圖已知，相切時M點橫坐標(biāo)最大，作圖利用解直角三角形，易得所求邊長，即M橫坐標(biāo)最大值易知．
（2）①類似上小問，最大值時相切，利用解三角形得到最大時M點坐標(biāo)，代入直線y=kx+k+2，即可求得k．
②根據(jù)題意畫出圖示，AE不在三角形中，不易表示，所以可以適當(dāng)作輔助線，因為相切，通常都有圓心與切點的連線，如此可得垂直關(guān)系；而同時出現(xiàn)過P點的兩條與圓的切線，通常連接圓心與P點，如此可得全等三角形等相等關(guān)系，此時看到PA⊥CD，則AE所屬的三角形與PAO相似，則可試著將其轉(zhuǎn)化．本題思考的確有一定難度，利用三角函數(shù)關(guān)系可以技巧的得出AF•AP=AD²，AF•AP=AE•AO，則有AD²=AE•AO，且AD，AO都為固定值，則易知AE值亦固定．

解答：解：（1）①l₃，l₄；
分析如下：

根據(jù)題意，如圖1，l₁，l₂與⊙O沒有交點，
對l₃，過點O作OB⊥AC于B，
∵A（0，2），C（-

2 3

3

，0），
∴AO=2，C0=

2 3

3

，
∴根據(jù)勾股定理，AC=

4 3

3

．
∴根據(jù)面積相等，OB=

AO•OC

AC

=1，
∵⊙O半徑為1，
∴AC切⊙O于B，
∴l(xiāng)₃是⊙O的“x關(guān)聯(lián)直線”．
對l₄，顯然與⊙O有兩個交點，故l₄是⊙O的“x關(guān)聯(lián)直線”．
綜上所述，l₃，l₄是⊙O的“x關(guān)聯(lián)直線”．

②xM=

2 3

3

；
分析如下：

如圖2，PM與⊙O相切于B點時，M的橫坐標(biāo)x_M最大，連接OB，則OB⊥PM，
在Rt△OPB中，
∵PO=2，OB=1，
∴∠OPB=30°，
∴OM=tan∠OPB•OP=

3

3

•2=

2 3

3

，
所以點M的橫坐標(biāo)x_M最大值為

2 3

3

．

（2）
如圖3，直線PM⊙A相切于點B時，此時點M的橫坐標(biāo)x_M最大，
作PH⊥x軸于點H，連接AB，
HM=x_M+1，AM=x_M-2，
在Rt△ABM和Rt△PHM中，
∵tan ∠AMB=

AB

BM

=

PH

HM

，AB=1，PH=2
∴BM=

1

2

HM=

1

2

(xM+1)．
在Rt△ABM中，
∵AM²=AB²+BM²，
∴(xM-2)2=1+

1

4

(xM+1)2．
解得 xM=3±

4 3

3

．
∴點M的橫坐標(biāo)x_M最大時，xM=3+

4 3

3

，此時M（3+

4 3

3

，0），
∴代入直線y=kx+k+2，解得k=

3 -3

4

．

②當(dāng)P點的位置發(fā)生變化時，AE的長度不發(fā)生改變．理由如下：

如圖4，⊙A的兩條“x關(guān)聯(lián)直線”與⊙A相切于點C，D，連接AC，AD，AP交CD于F，此時PC=PD．
在△ADP和△ACP中，

PC=PD PA=PA AC=AD

，
∴△ADP≌△ACP
∴∠CPF=∠DPF
∴AP⊥BC，
在Rt△ADF和Rt△ADP中，
∵∠ADF=∠APD，
∴sin∠ADF=sin∠APD，
∴AF•AP=AD²
在Rt△AEF和Rt△AOP中，
∵cos ∠EAF=

AF

AE

=

AO

AP

，
∴AF•AP=AE•AO
∴AD²=AE•AO
∵AD=1，AO=2，
∴AE=

1

2

，即當(dāng)P點的位置發(fā)生變化時，AE的長度不發(fā)生改變．

點評：本題重點考查直線與圓相切的相關(guān)性質(zhì)，并結(jié)合直角坐標(biāo)系利用三角函數(shù)、解直角三角形等相關(guān)技巧計算線段長度．最后一問難度較高，不過思路方面我們要牢記要想計算邊長，我們通常需要通過輔助線將此線放在與其他簡單三角形全等相似的三角形中，以便可以將此線段長度轉(zhuǎn)化出來，這種思路需要學(xué)生在平時的題目中多加實踐，總體來說本題前面常規(guī)，后面難度偏高，學(xué)生重點加強理解．