【題目】已知正方形ABCD的邊長為a,兩條對角線AC、BD相交于點O,P是射線AB上任意一點,過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF,垂足為E、F.
(1)如圖1,當(dāng)P點在線段AB上時,PE+PF的值是否為定值?如果是,請求出它的值;如果不是,請加以說明.
(2)如圖2,當(dāng)P點在線段AB的延長線上時,求PE﹣PF的值.
【答案】解:(1)是定值,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,
∴PF∥AC,
同理PE∥BD.
∴四邊形PFOE為矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=45°,
∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a.
(2)∵四邊形ABCD為正方形,
∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,
∴PF∥AC,
同理PE∥BD.
∴四邊形PFOE為矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=45°,
∴PF=BF.
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a.
【解析】(1)因為ABCD是正方形,所以對角線互相垂直,又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF,垂足為E、F,所以可證明四邊形PFOE是矩形,從而求出解.
(2)因為四邊形ABCD是正方形,所以對角線互相垂直,又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF,垂足為E、F,所以可證明四邊形PFOE是矩形,從而求出解.
【考點精析】掌握正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班在一次班會課上,就“遇見路人摔倒后如何處理”的主題進(jìn)行討論,并對全班50名學(xué)生的處理方式進(jìn)行統(tǒng)計,得出相關(guān)統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計表圖所提供的信息回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中的m=______________,n=_________________;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該校共有2000名學(xué)生,請據(jù)此估計該校學(xué)生采取“馬上救助”方式的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在正方形ABCD中,點E、F分別在BC、CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于G,給出下列結(jié)論:
①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF.
其中結(jié)論正確的共有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】已知點A(a,1)與點A′(5,b)關(guān)于y軸對稱,則實數(shù)a、b的值是( 。
A.a=5,b=1B.a=﹣5,b=1C.a=5,b=﹣1D.a=﹣5,b=﹣1
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【題目】化簡求值:(1)(3a2-8a)+(2a2-13a2+2a)-2(a3-3),其中a=-2;
(2)3x2y-+3xy2,其中x=3,y=-.
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【題目】若代數(shù)式(4x2-mx-3y+4)-(8nx2-x+2y-3)的值與字母x的取值無關(guān),求代數(shù)式(-m2+2mn-n2)-2(mn-3m2)+3(2n2-mn)的值.
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【題目】計算(x﹣2)(x+2)的結(jié)果為( 。
A. x2+2 B. x2﹣4 C. x2+3x+4 D. x2+2x+2
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【題目】(1)閱讀下面材料:
點A,B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a,b,A,B兩點之間的距離表示為|AB|.
當(dāng)A,B兩點中有一點在原點時,不妨設(shè)點A在原點,如圖(1),|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|;當(dāng)A,B兩點都不在原點時,
①如圖(2),點A,B都在原點的右邊,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;
②如圖(3),點A,B都在原點的左邊,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|;
③如圖(4),點A,B在原點的兩邊,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|;
綜上,數(shù)軸上A,B兩點之間的距離|AB|=|a﹣b|.
(2)回答下列問題:
①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ,數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是 ,數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是 ;
②數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是 ,如果|AB|=2,那么x為 ;
③當(dāng)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|取最小值時,相應(yīng)的x的取值范圍是 .
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)的A,B兩點之間距離.
探究運用
①數(shù)軸上表示1和3兩點之間的距離是_____;數(shù)軸上表示x和2兩點之間的距離是_____.
②根據(jù)圖像比較大小: ______(填“<”、“=”、“>”).
拓展延伸
③若點A.B、C在數(shù)軸上分別表示數(shù)-1、4、c,且點C到點A.B的距離之和是7,則c=_____.
④關(guān)于x的方程(m>n,k>0),借助數(shù)軸探究方程的解的情況,直接寫出結(jié)論.
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