Question

如圖，△ABP與△DCP是兩個全等的等腰直角三角形，∠APB=∠DPC=90°，且PA=AD．有下列四個結(jié)論：
①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直線PC與直線AB垂直；④四邊形ABCD是軸對稱圖形．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,軸對稱圖形

專題：

分析：根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=BP=CP=DP，再判斷出△ADP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠APD=60°，根據(jù)周角等于360°求出∠BPC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可求出∠PBC=30°，判斷出①錯誤；求出∠ABC+∠BAD=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行得到AD∥BC，判斷出②正確；∠ABC+∠BCP≠90°，判斷出③錯誤；求出四邊形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的對稱性判斷出④正確．

解答：解：∵△ABP與△DCP是兩個全等的等腰直角三角形，
∴AP=BP=CP=DP，
有∵PA=AD，
∴AP=AD=DP，
∴△ADP是等邊三角形，
∴∠APD=60°，
∴∠BPC=360°-90°×2=60°=120°，
∴∠PBC=

1

2

（180°-120°）=30°，故①錯誤；
∵∠ABC+∠BAD=（45°+30°）+（45°+60°）=180°，
∴AD∥BC，故②正確；
∵∠ABC+∠BCP=（45°+30°）+30°=105°≠90°，
∴直線PC與直線AB不垂直，故③錯誤；
∵△ABP與△DCP是兩個全等的等腰直角三角形，
∴AB=CD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴四邊形ABCD是軸對稱圖形，故④正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是②④共2個．
故選B．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的軸對稱性，熟記各性質(zhì)與判定方法并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．