Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)．若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，求AE′，BF′的長(zhǎng)；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)α=135°時(shí)，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題,三角形的外角性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長(zhǎng)．
（2）運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問(wèn)題．
（3）首先找到使點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大時(shí)點(diǎn)P的位置（點(diǎn)P與點(diǎn)D′重合時(shí)），然后運(yùn)用勾股定理及30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合，如圖①．
∵點(diǎn)A（-2，0）點(diǎn)B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，
AE′=

OA2+OE2

=

22+12

=

5

．
在Rt△BOF′中，
BF′=

OB2+OF2

=

22+12

=

5

．
∴AE′，BF′的長(zhǎng)都等于

5

．

（Ⅱ）當(dāng)α=135°時(shí)，如圖②．
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，

AO=BO ∠AOE′=∠BOF′ OE′=OF′

，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′．

（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴點(diǎn)P、B、A、O四點(diǎn)共圓，
∴當(dāng)點(diǎn)P在劣弧OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)隨著∠PAO的增大而增大．
∵OE′=1，∴點(diǎn)E′在以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠E′AO（即∠PAO）最大，
此時(shí)∠AE′O=90°，點(diǎn)D′與點(diǎn)P重合，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)達(dá)到最大．
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示．
∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°，AE′=

3

．
∴AP=

3

+1．
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH=

1

2

AP=

3 +1

2

．
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為

3 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是在圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，而找到使點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大時(shí)點(diǎn)P的位置是解決最后一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．