Question

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

1

4

）；點(diǎn)F（0，1）在y軸上．直線y=-1與y軸交于點(diǎn)H．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；
（3）當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax²，將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式，求出a的值，繼而可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得出結(jié)論；
（3）首先可得∠FMH=30°，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

4

x²），根據(jù)PF=PM=FM，可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可得出答案．

解答：（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²，
將點(diǎn)A（1，

1

4

）代入y=ax²得：a=

1

4

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=

1

4

x²；

（2）證明：∵點(diǎn)P在拋物線y=

1

4

x²上，
∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

4

x²），
過(guò)點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，則BF=

1

4

x²-1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF=

( 1 4 x2-1)2+x2

=

1

4

x²+1，
∵PM⊥直線y=-1，
∴PM=

1

4

x²+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥y軸，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；

（3）解：當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴

1

4

x²+1=4，
解得：x=±2

3

，
∴

1

4

x²=

1

4

×12=3，
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，3）或（-2

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練基本知識(shí)，數(shù)形結(jié)合，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．