Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）出發(fā)2秒后，求線段PQ的長？

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△PQB是等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時(shí)間？

Answer 1

【答案】(1) ； （2）t=83；（3）當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形.

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設(shè)出發(fā)t秒后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動上，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時(shí)間有三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1）則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求得BE、CE，即可得出t.

解：(1)BQ=2×2=4cm，BP=ABAP=82×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ=；

(2)BQ=2t，

BP=8t，

2t=8t，

解得：t=83；

(3)①當(dāng)CQ=BQ時(shí)(圖1)，

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒.

②當(dāng)CQ=BC時(shí)(如圖2)，

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒

③當(dāng)BC=BQ時(shí)(如圖3)，過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

則BE=，

所以CE=BC2BE2，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，

△BCQ為等腰三角形.

“點(diǎn)睛”本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，注意分類討論思想的應(yīng)用.