Question

已知AB是直徑，弦PQ與AB不平行，R為PQ的中點(diǎn)，∠SRT=60°，PS⊥AB，TQ⊥AB，求

PQ

AB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連接OP，OR，OQ，延長(zhǎng)TQ，交SR的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M，延長(zhǎng)QO交圓O于點(diǎn)N，連接PN，可證：P、R、O、S四點(diǎn)共圓，則PQ：AB=PQ：NQ，即可求解．

解答：解：如圖，連接OP、QO、OR、延長(zhǎng)QO交⊙O于N，延長(zhǎng)SR交TQ延長(zhǎng)線于M，連接PN，
∵PS⊥AB，TQ⊥AB，
∴PS∥QT，
∴∠M=∠PSR，

在△PRS和△QRM中，

∠M=∠PSR PR=QR ∠PRS=∠QRM

，
∴△PRS≌△QRM（AAS），
∴SR=RM，
又∵△MST為直角三角形，
∴SR=RT（直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半），
∴SR=RT，
∵∠SRT=60°，
∴△SRT為正三角形，
∵R為PQ中點(diǎn)，
∴OR⊥PQ（垂徑定理），
∴P、R、O、S四點(diǎn)共圓，
∴∠POR=∠PSR=30°，
同理，可證∠ROQ=∠RTQ=30°，
則∠POQ=60°，
∴PQ：AB=PQ：NQ=sin∠PNQ=sin30°=1：2，
即

PQ

AB

的值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了求線段的比，利用圓周角定理把線段的比轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題求解，難度較大，關(guān)鍵是能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．