Question

如圖所示，在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E為斜邊AB上的點，且∠DCE=45°
求證：DE²=AD²+BE²．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：如圖，將△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBF的位置；證明∠A=∠ABC=∠CBF=45°，得到EF²=AD²+BE²
證明△DCE≌△FCE，得到DE=EF，故DE²=AD²+BE²．

解答：證明：如圖，將△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBF的位置；
則CD=CE，AD=BF；∠BCF=∠ACD，∠CBF=∠A；
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=∠CBF=45°，
∴∠EBF=90°，EF²=BE²+BF²=AD²+BE²；
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，而∠ACD=∠BCF，
∴∠ECF=∠ECD=45°；在△DCE與△FCE中，

CD=CE ∠DCE=∠FCE CE=CE

，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
∴DE²=AD²+BE²．

點評：該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作旋轉(zhuǎn)變換，將分散的條件集中到某個三角形中．