Question

已知，點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F、Q為斜邊AB的中點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是

 

，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）根據(jù)AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延長(zhǎng)EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可；
（3）延長(zhǎng)EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）如圖1，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是AE=BF，
理由是：∵Q為AB的中點(diǎn)，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中

∠AQE=∠BQF ∠AEQ=∠BFQ AQ=BQ

∴△AEQ≌△BFQ，
∴AE=BF，
故答案為：AE∥BF，AE=BF；

（2）
QE=QF，
證明：延長(zhǎng)EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∠AQE=∠BQD ∠AEQ=∠BDQ AQ=BQ

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論成立，
證明：延長(zhǎng)EQ交FB于D，如圖3，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∠AQE=∠BQD ∠AEQ=∠BDQ AQ=BQ

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△AEQ≌△BDQ，用了運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，難度適中．