【題目】(2017貴州省遵義市)如圖,拋物線a<0,a、b為常數(shù))與x軸交于A、C兩點,與y軸交于B點,直線AB的函數(shù)關(guān)系式為

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點坐標;

(2)已知點Mm,0)是線段OA上的一個動點,過點Mx軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,當m為何值時,BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?

(3)在(2)問條件下,當BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時,動點M相應位置記為點M,將OM繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到ON(旋轉(zhuǎn)角在90°之間);

①探究:線段OB上是否存在定點PP不與O、B重合),無論ON如何旋轉(zhuǎn),始終保持不變,若存在,試求出P點坐標;若不存在,請說明理由;

②試求出此旋轉(zhuǎn)過程中,(NA+NB)的最小值.

【答案】(1),C(1,0);(2)m=﹣4;(3)①存在,P(0,3);

【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知條件得到B,A的坐標,解方程組得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式,令y=0,于是得到C的坐標;

(2)由點Mm,0),過點Mx軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,得到Dm,),當DE為底時,作BGDEG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=GD=ED,GM=OB=,列方程即可得到結(jié)論;

(3)①根據(jù)已知條件得到ON=OM′=4,OB=,由NOP=∠BON,特殊的當NOP∽△BON時,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,于是得到結(jié)論;

根據(jù)題意得到N在以O為圓心,4為半徑的半圓上,由知,,得到NP=NB,于是得到(NA+NB)的最小值=NA+NP,此時N,A,P三點共線,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論.

試題解析:(1)在中,令x=0,則y=,令y=0,則x=﹣6,

B(0,),A(﹣6,0),

B(0,),A(﹣6,0)代入,

拋物線的函數(shù)關(guān)系式為:,

y=0,則=0,

x1=﹣6,x2=1,

C(1,0);

(2)∵Mm,0),過點Mx軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,

Dm,),

DE為底時,作BGDEG,則EG=GD=ED,GM=OB=

=,解得:m1=﹣4,m2=9(不合題意,舍去),

m=﹣4時,BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形;

(3)①存在,

ON=OM′=4,OB=,

∵∠NOP=∠BON

NOP∽△BON時,

不變,即OP==3,

P(0,3);

②∵N在以O為圓心,4為半徑的半圓上,由知,,

NP=NB

∴(NA+NB)的最小值=NA+NP,

此時NA,P三點共線,

∴(NA+NB)的最小值==

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