Question

【題目】探究：如圖1和圖2，四邊形中，已知，，點、分別在、上，．

（1）①如圖1，若、都是直角，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合，直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系____________________；

②如圖2，若、都不是直角，但滿足，線段、和之間①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

（2）拓展：如圖3，在中，，，點、均在邊上，且，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，推出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可得出結(jié)果；
（2）把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3-x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．

解：（1）①如圖1中，

∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，
∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共線．
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，
故答案為：EF=BE+DF；

②成立，理由如下：

如圖2，把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，

則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴C、D、G在一條直線上，

與①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

（2）∵△ABC中，，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，．

如圖3，把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．

則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD和△EAD中，

，

∴△FAD≌△EAD（SAS），

∴DF=DE，

設(shè)DE=x，則DF=x，

∵BC=4，

∴BF=CE=4-1-x=3-x，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，

x2=（3-x）2+12，解得：，

即DE=．