Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，連AC．
（1）若AC=PC，求證：AP=

3

AC；
（2）若sin∠APC=

5

13

，求tan∠ABC．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖1，由AC=PC得到∠A=∠P，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠POC=2∠A=2∠P，接著利用切線的性質(zhì)得到∠PCO=90°，則可計算出∠P=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系有OP=2OC，PC=

3

OC，而AP=OA+OP=3OC，所以AP：PC=

3

：1，于是得到AP=

3

AC；
（2）作CH⊥OP于H，連結(jié)OC，如圖2，根據(jù)切線性質(zhì)得∠PCO=90°，在Rt△POC中，利用正弦的定義得到sin∠OPC=

OC

OP

=

5

13

，則可設(shè)OC=5x，OP=13x，于是利用勾股可計算出PC=12x，再利用面積法計算出CH=

60

13

x，接著在Rt△OCH中利用勾股定理計算出OH=

25

13

x，則BH=OB-OH=

40

13

x，然后在Rt△HCB中，根據(jù)正切的定義可得tan∠HBC=

3

2

，即tan∠ABC=

3

2

．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖1，
∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
而∠POC=∠A+∠ACO，
∴∠POC=2∠A=2∠P，
∵PC切⊙O于點C，
∴∠PCO=90°，
∴∠POC+∠P=90°，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC，PC=

3

OC，
∴AP=OA+OP=3OC，
∴AP：PC=

3

：1，
而AC=PC，
∴AP=

3

AC；
（2）解：作CH⊥OP于H，連結(jié)OC，如圖2，
∵PC切⊙O于點C，
∴∠PCO=90°，
在Rt△POC中，sin∠OPC=

OC

OP

=

5

13

，
設(shè)OC=5x，則OP=13x，
∴PC=

OP2-OC2

=12x，
∵

1

2

CH•OP=

1

2

OC•PC，
∴CH=

5x•12x

13x

=

60

13

x，
在Rt△OCH中，OH=

OC2-CH2

=

25

13

x，
∴BH=OB-OH=5x-

25

13

x=

40

13

x，
在Rt△HCB中，tan∠HBC=

CH

BH

=

60 13 x

40 13 x

=

3

2

，
即tan∠ABC=

3

2

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．