Question

已知：拋物線y = x²+(2m－1)x + m²－1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x < 0時(shí)，y隨x的增大而減小.

(1)求拋物線的解析式，并寫出y < 0時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍;

(2)設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B， DC⊥x軸于點(diǎn)C. ①當(dāng)BC=1時(shí)，直接寫出矩形ABCD的周長(zhǎng);

②設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (a，b)，將矩形ABCD的周長(zhǎng)L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長(zhǎng)是否存在最大值，如果存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)

∴m²－1=0

∴m = ±1

∴y = x²+x或y = x²－3x　

∵x<0時(shí)，y隨x的增大而減小

∴ y = x²－3x　

由圖象知：y<0時(shí)，0<x<3　

(2)①當(dāng)BC=1時(shí),由拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－2．所以矩形的周長(zhǎng)為6 …

(3)②∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b）

∴當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),矩形ABCD的一邊BC=3－2a，另一邊AB=3a－a²

周長(zhǎng)L=－2a²+2a+6 ,其中 0＜a＜

當(dāng)點(diǎn)A在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),矩形的一邊BC=3－(6－2a)=2a－3, 另一邊AB=3a－a²

周長(zhǎng)L=－2a²+10a－6，其中＜a＜3

∴當(dāng)0＜a＜時(shí)，L=－2(a－)²+∴當(dāng)a = 時(shí)，L_最大= ，A點(diǎn)坐標(biāo)為(,－)

當(dāng)＜a＜3時(shí)，L=－2(a－)²+ ∴當(dāng)a = 時(shí)，L_最大= ，A點(diǎn)坐標(biāo)為(,－)