Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=6cm，D是BC的中點(diǎn).點(diǎn)E從A出發(fā)，以acm/s(a＞0)的速度沿AC勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交AD于點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)G，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t≥t0).

(1)若t=2，△CEF∽△ABC，求a的值；

(2)當(dāng)a=時(shí)，以點(diǎn)E、F、D、G為頂點(diǎn)點(diǎn)四邊形時(shí)平行四邊形，求t的值；

(3)若a=2，是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)△DFG是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)t=，△DFG是直角三角形．

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，建立比例關(guān)系，進(jìn)而求解.（2）根據(jù)相似三角形的定義證明△AEG∽△ACD，進(jìn)而得到 ，求得EG的值，再根據(jù)題意求出t的取值.（3）根據(jù)題意及勾股定理，再結(jié)合（2）中△AEG∽△ACD，得到 ，最后分情況討論，得出t=，△DFG是直角三角形.

(1)∵t=2，

∴CF=2厘米，AE=2a厘米，

∴EC=(4﹣2a ) 厘米，

∵△ECF∽△BCA．

∴．

∴

∴．

(2)由題意，AE=t厘米，CD=3厘米，CF=t厘米．

∵EG∥CD

∴△AEG∽△ACD．

∴，

∴EG=．

∵以點(diǎn)E、F、D、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

∴EG=DF．

當(dāng)0≤t＜3時(shí)，

∴．

當(dāng)3＜t≤6時(shí)，

∴．

綜上，或.

(3)∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)

∴CD=BC=3，

在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得，AD=5，

由題意，AE=2t厘米，CF=t厘米，

由(2)知，△AEG∽△ACD，

∴，

∴

∴AG=厘米，EG=，DF=3﹣t厘米，DG=5﹣(厘米)．

若∠GFD=90°，則EG=CF，=t．

∴t=0，(舍去)(11分)若∠FGD=90°，則△ACD∽△FGD．

∴，

∴．

∴t=．

綜上：t=，△DFG是直角三角形．