【題目】(操作體驗)

如圖①,已知線段AB和直線l,用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點P,使得∠APB=30°,如圖②,小明的作圖方法如下:

第一步:分別以點A,B為圓心,AB長為半徑作弧,兩弧在AB上方交于點O

第二步:連接OA,OB

第三步:以O為圓心,OA長為半徑作⊙O,交l;

所以圖中即為所求的點.(1)在圖②中,連接,說明∠=30°

(方法遷移)

2)如圖③,用直尺和圓規(guī)在矩形ABCD內(nèi)作出所有的點P,使得∠BPC=45°,(不寫做法,保留作圖痕跡).

(深入探究)

3)已知矩形ABCD,BC=2AB=mPAD邊上的點,若滿足∠BPC=45°的點P恰有兩個,則m的取值范圍為________

4)已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P為矩形ABCD內(nèi)一點,且∠BPC=135°,若點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到點Q,則PQ的最小值為________

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)2m<;(4)

【解析】

1)先根據(jù)等邊三角形得:∠AOB=60°,則根據(jù)圓周角定理可得:∠=30°;

2)先作等腰直角三角形BEC、BFC,再作EBC的外接圓,可得圓心角∠BOC=90°,則所對的圓周角都是45°;

3)先確定⊙O,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得AD在四邊形GEFH內(nèi)部時符合條件;

4)先確定⊙O,根據(jù)圓周角定理正確畫出∠BPC=135°,利用勾股定理求OF的長,知道A、P、O在同一直線上時,AP最小,則PQ的值最小,求AE的長,即是AP的長,可得PQ的最小值.

OA=OB=AB,

∴△OAB是等邊三角形,

∴∠AOB=60°

由圖②得:∠=AOB=30°;

如圖③,①以B、C為圓心,以BC為半徑作圓,交ABDCE、F

②作BC的中垂線,連接EC,交于O,

③以O為圓心,OE為半徑作圓,

上所有的點(不包括E、F兩點)即為所求;

如圖④,同理作⊙O,

BE=BC=2,

CE=,

∴⊙O的半徑為,即OE=OG=

OGEF,

EH=1

OH=1,

GH=,

BE≤AD<MN

2≤m<,即2≤m<

故答案為:2≤m<;

如圖⑤,構(gòu)建⊙O,使∠COB=90°,在優(yōu)弧上取一點H,則∠CHB=45°

∴∠CPB=135°

由旋轉(zhuǎn)得:APQ是等腰直角三角形,

PQ=AP,

PQ取最小值時,就是AP取最小值,

當(dāng)PE重合時,即A、PO在同一直線上時,AP最小,則PQ的值最小,

RtAFO中,AF=1,OF=3+1=4,

AO=,

AE==AP,

PQ=AP==

故答案為:

練習(xí)冊系列答案
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將圓形紙片左右對折,折痕為AB,如圖

將圓形紙片上下折疊,使A、B兩點重合,折痕CDAB相交于M,如圖

將圓形紙片沿EF折疊,使BM兩點重合,折痕EFAB相交于N,如圖

連結(jié)AEAF、BE、BF,如圖

經(jīng)過以上操作,小芳得到了以下結(jié)論:

;四邊形MEBF是菱形;為等邊三角形;.以上結(jié)論正確的有

A.1B.2C.3D.4

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【題目】如圖所示,在矩形OABC中,OA=5AB=4,點D為邊AB上一點,將△BCD沿直線CD折疊,使點B恰好落在OA邊上的點E處,分別以OC,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

1)求OE的長.

2)求經(jīng)過O,DC三點的拋物線的解析式.

3)一動點P從點C出發(fā),沿CB以每秒2個單位長的速度向點B運動,同時動點QE點出發(fā),沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動,當(dāng)點P到達(dá)點B時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,DP=DQ

4)若點N在(2)中的拋物線的對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使得以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出M點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】甲、乙兩所醫(yī)院分別有一男一女共4名醫(yī)護(hù)人員支援湖北武漢抗擊疫情.

(1)若從甲、乙兩醫(yī)院支援的醫(yī)護(hù)人員中分別隨機(jī)選1名,則所選的2名醫(yī)護(hù)人員性別相同的概率是    ;

(2)若從支援的4名醫(yī)護(hù)人員中隨機(jī)選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名醫(yī)護(hù)人員來自同一所醫(yī)院的概率.

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1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式.

2)已知點Pa0)(a0),過點P作平行于y軸的直線,在第一象限內(nèi)與一次函數(shù)的圖象相交于點M,與反比例函數(shù)上的圖象相交于點N.若PMPN,結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出a的取值范圍.

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(1)求這個二次函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,求線段PE的長(用含x 的代數(shù)式表示);

(3)點D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,若以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似,請求出P點的坐標(biāo).

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