【題目】如圖所示,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn),將△BCD沿直線CD折疊,使點(diǎn)B恰好落在OA邊上的點(diǎn)E處,分別以OC,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

1)求OE的長.

2)求經(jīng)過O,DC三點(diǎn)的拋物線的解析式.

3)一動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿CB以每秒2個單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,同時動點(diǎn)QE點(diǎn)出發(fā),沿EC以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時,兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,DP=DQ

4)若點(diǎn)N在(2)中的拋物線的對稱軸上,點(diǎn)M在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使得以M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】13;(2;(3t=;(4)存在,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,16)或(-6,16)或

【解析】

1)由矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可求得CE、CO的長,在RtCOE中,由勾股定理可求得OE的長;
2)設(shè)AD=m,在RtADE中,由勾股定理列方程可求得m的值,從而得出D點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合C、O兩點(diǎn),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
3)用含t的式子表示出BPEQ的長,可證明△DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;

4)由(2)可知C-4,0),E0-3),設(shè)N-2,n),Mmy),分以下三種情況:①以EN為對角線,根據(jù)對角線互相平分,可得CM的中點(diǎn)與EN的中點(diǎn)重合,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得m的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得答案;②當(dāng)EM為對角線,根據(jù)對角線互相平分,可得CN的中點(diǎn)與EM的中點(diǎn)重合,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得m的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得答案;③當(dāng)CE為對角線,根據(jù)對角線互相平分,可得CE的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)重合,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得m的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得答案.

解:(1)∵OABC為矩形,∴BC=AO=5,CO=AB=4

又由折疊可知,,

2)設(shè)AD=m,則DE=BD=4-m,
OE=3,∴AE=5-3=2,

RtADE中,AD2+AE2=DE2,

m2+22=(4-m)2,∴m=,∴D,

∵該拋物線經(jīng)過C(-4,0)、O0,0),

∴設(shè)該拋物線解析式為,

把點(diǎn)D代入上式得,

a=,

3)如圖所示,連接DP、DQ.由題意可得,CP=2t,EQ=t,則BP=5-2t

當(dāng)DP=DQ時,在RtDBPRtDEQ中,

,

RtDBPRtDEQHL),∴BP=EQ,

5-2t=t,∴t=

故當(dāng)t=時,DP=DQ;

4)∵拋物線的對稱軸為直線x==-2,
∴設(shè)N-2,n),
又由(2)可知C-4,0),E0,-3),設(shè)Mm,y),
①當(dāng)EN為對角線,即四邊形ECNM是平行四邊形時,如圖1

則線段EN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=-1,線段CM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
EN,CM互相平分,
=-1,解得m=2
M點(diǎn)在拋物線上,
y=×22+×2=16
M2,16);
②當(dāng)EM為對角線,即四邊形ECMN是平行四邊形時,如圖2,

則線段EM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,線段CN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為,

EM,CN互相平分,
m=-3,解得m=-6,
又∵M點(diǎn)在拋物線上,

M-6,16);
③當(dāng)CE為對角線,即四邊形EMCN是平行四邊形時,如圖3,

線段CE的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=-2,線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

CEMN互相平分,∴,

解得m=-2,
當(dāng)m=-2時,y=,

M

綜上可知,存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(2,16)或(-616)或

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第二步:連接OAOB;

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所以圖中即為所求的點(diǎn).(1)在圖②中,連接,說明∠=30°

(方法遷移)

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(深入探究)

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1)求ab的值.

2)若前五周該蔬菜的銷售量mkg)與每周的平均銷售價格y(元/kg)之間的關(guān)系可近似地用如圖2所示的函數(shù)圖象刻畫,第6周的銷售量與第5周相同:

①求my的函數(shù)表達(dá)式;

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3)若該蔬菜第7周的銷售量是100kg,由于受降雨的影響,此種蔬菜第8周的可銷售量將比第7周減少a%a0).為此,公司又緊急從外地調(diào)運(yùn)了5噸此種蔬菜,剛好滿足本地市民的需要,且使此種蔬菜第8周的銷售價格比第7周僅上漲0.8a%.若在這一舉措下,此種蔬菜在第8周的總銷售額與第7周剛好持平,請通過計算估算出a的整數(shù)值.

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30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45

對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析,得到下列表一和表二:

表一

時間t(單位:分鐘)

人數(shù)

2

a

10

b

表二

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

60

c

d

根據(jù)以上提供信息,解答下列問題:

1)填空

a= b=

c= d=

2)如果該,F(xiàn)有九年級學(xué)生200名,請估計該校九年級學(xué)生每天參加體育鍛煉的時間達(dá)到平均水平及以上的學(xué)生人數(shù)。

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